Solution des exercices
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par le flot de l’équation différentielle (E ´ ).) De plus B ´ est un intervalle car si
t ∈ B ´ et 0 ≤ t ≤ t,
t
0
´ x ´ (s)
2 ds ≤
t
0
´ x ´ (s)
2 ds < ln 2 .
Par suite, puisque B ´ est ouvert dans [0, T ´ [, si l’on note b ´ = sup B ´ on a
B ´ = [0, b ´ [.
b) On a déjà fait observer que x ´ (t) ≥ v > 0 pour tout t ∈ [0, T ´ [. De plus,
x
´ (t)
x ´ (t)
= 1 + x ´ (t) + ´ x ´ (t)
2 ,
d’où
ln
x ´ (t)
v
= t +
t
0
(x ´ (s) + ´ x ´ (s)
2 ) ds ,
et donc x ´ (t) ≤ 2v e
t exp
t
0
x ´ (s) ds
si t ∈ B ´ .
c) En s’inspirant de la démonstration du lemme de Gronwall, on cherche
à estimer le majorant de x ´ (t) e
−t fourni par l’inégalité ci-dessus (bien
qu’elle soit hautement non-linéaire), à savoir (au facteur 2v près)
y ´ (t) := exp
t
0
x ´ (s) ds
. Pour majorer y ´ (t) il suffit de majorer
u ´ (t) := −1/y ´ (t), dont la dérivée vérifie
u
´ (t) =
x ´ (t) y ´ (t)
y ´ (t) 2 ≤ 2v e
t ,
d’où par intégration entre 0 et t,
u ´ (t) ≤ −1 + 2v (e
t
− 1) ,
et finalement
x ´ (t) ≤ 2v e
t y ´ (t) ≤
2 v e
t
1 − 2 v (e t − 1)
.
d) Puisque T < ln(1 +
1
2v ), la fonction w : t → 2 v e
t (1 − 2 v (e
t
− 1))
−1 est
continue donc bornée sur [0, T ], disons pas C. On a alors le résultat voulu
pour
´ <
ln 2
T C
2
.
En effet, raisonnons par l’absurde et supposons que, pour ´ ≤ ´, T ´ ≤ T .
Alors par un argument de connexité, et plus exactement de « bootstrap », on
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