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7 • Équations autonomes
d’où, si z(s) < r pour tout s ∈ [0, t],
z(s) ≤ |x(s)| ≤ e
−s
|x 0 | + r
s
0
e
t−s z(t) dt .
Autrement dit, l’application s ∈ [0, t] → y(s) := e
s z(s) vérifie l’inégalité
intégrale
y(s) ≤ |x 0 | + r
s
0
y(t) dt
pour s ∈ [0, t], d’où par le lemme de Gronwall,
y(s) ≤ |x 0 | e
rs .
En revenant à z, ceci donne z(s) ≤ |x 0 | e
(r−1)s = w(s).
ii). Par construction, z(0) = |x 0 | < r , et w(t) ≤ |x 0 | < r pour tout t ∈ R
+ . Comme
de plus w est continue, le resultat de la question précédente permet d’appliquer
la proposition 7.6. On a donc z(t) ≤ w(t) pour tout t ∈ [0, b[.
iii). D’après ce qui précède, |x(t)| ≤ w(t) < r < 1 pour tout t ∈ [0, b[. Le
théorème 7.5 (ou le théorème des bouts) appliqué au système autonome
x
= −x + a(t)x
2 ,
t
= 1 ,
montre alors que nécessairement b = +∞.
Exercice 7.8
i). D’après l’exercice 5.7, le temps maximal d’existence de la solution de
dx
dt
= x + x
2
telle que x(0) = v > 0 est égal à T 0 =
+∞
v
dx
x + x 2 = ln
1 +
1
v
.
ii). a) L’ensemble B ´ :=
t ∈ [0, T ´ [ ;
t
0
´ x ´ (s)
2 ds < ln 2
contient évidemment 0 (puisque ln 2 > 0), et même l’intervalle [0, t ´ ] avec t ´ > 0 tel que
0 < v ≤ x ´ (t) < 2v pour t ∈ [0, t ´ ], car alors
t
0
´ x ´ (s)
2 ds =
t
0
x
´ (s)
x ´ (s)
− 1 − x ´ (s)
ds ≤
t
0
x
´ (s)
x ´ (s)
ds = ln
x ´ (t)
v
.
(Le fait que 0 < v ≤ x ´ (t) vient de ce que la fonction x → x + x
2 + ´x
3 est
à valeurs strictement positives sur R
+∗ , qui est donc en particulier invariant