Solution des exercices
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iii). On a f (x, y) > 0 et g(x, y) < 0 si 0 < x < 1/2 et 0 < y < 1 − 2x, f (x, y) < 0
et g(x, y) < 0 si 1/2 < x < 2 et 0 < y, f (x, y) < 0 et g(x, y) > 0 si 2 < x et
0 < y < x − 2, voir la figure 7.7.
1/2
x
1
ε
y
2
Figure 7.7 Orientation du champ de vecteurs ( f , g) et domaine D ´ (hachuré) .
iv). Le champ ( f , g) est clairement rentrant (ou tangent, pour y = 0) sur les côtés de
D ´ (voir à nouveau la figure 7.7).
v). Pour (x 0 , y 0 ) ∈ D ´ , si y 0 = 0, on a déjà vu que l’orbite de (x 0 , y 0 ) s’identifiait
à celle de x 0 pour l’équation scalaire x
= x − 2x
2 . En particulier, comme
l’ensemble v-limite de x 0 pour x
= x − 2x
2 est {1/2}, celui de (x 0 , y 0 ) pour le
système (PP) est {(1/2, 0)}. Si y 0 > 0, la solution maximale passant par (x 0 , y 0 )
est telle que y est strictement décroissante et à valeurs strictement positives. Donc
y a une limite y ∞ ≥ 0. Si de plus y 0 ≤ 1 − 2x 0 , le triangle T ´ := {(x, y) ; ´ ≤
x ≤ 1/2, 0 ≤ y ≤ 1 − 2x} étant positivement invariant par le flot, t → x(t)
est strictement croissante et majorée par 1/2. On en déduit qu’elle a une limite
x ∞ ≥ 1/2. Le point (x ∞ , y ∞ ) est donc nécessairement un point fixe : dans D ´
ce ne peut être que (x ∞ , y ∞ ) = (1/2, 0). Reste le cas des points (x 0 , y 0 ) ∈ D ´
tels que y 0 > 1 − 2x 0 : ou bien l’orbite de (x 0 , y 0 ) atteint le triangle T ´ et
l’on conclut comme précédemment, ou bien cette orbite reste dans le trapèze
{(x, y) ; (1 − y)/2 ≤ x ≤ 2 − y, 0 ≤ y ≤ 1 − 2´}, et dans ce cas t → x(t)
est décroissante minorée par ´, donc elle a encore une limite x ∞ et l’on conclut
de la même façon. Ce résultat signifie que pour une donnée initiale dans D ´ ,
les prédateurs s’éteignent et la population de proies tend vers l’état d’équilibre
qu’elle aurait aussi seule.
Exercice 7.7
i). D’après la formule de Duhamel, pour tout s ∈ [0, b[,
x(s) = e
−s x 0 +
s
0
e
t−s a(t) (x(t))
2 dt ,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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iii). On a f (x, y) > 0 et g(x, y) < 0 si 0 < x < 1/2 et 0 < y < 1 − 2x, f (x, y) < 0
et g(x, y) < 0 si 1/2 < x < 2 et 0 < y, f (x, y) < 0 et g(x, y) > 0 si 2 < x et
0 < y < x − 2, voir la figure 7.7.
1/2
x
1
ε
y
2
Figure 7.7 Orientation du champ de vecteurs ( f , g) et domaine D ´ (hachuré) .
iv). Le champ ( f , g) est clairement rentrant (ou tangent, pour y = 0) sur les côtés de
D ´ (voir à nouveau la figure 7.7).
v). Pour (x 0 , y 0 ) ∈ D ´ , si y 0 = 0, on a déjà vu que l’orbite de (x 0 , y 0 ) s’identifiait
à celle de x 0 pour l’équation scalaire x
= x − 2x
2 . En particulier, comme
l’ensemble v-limite de x 0 pour x
= x − 2x
2 est {1/2}, celui de (x 0 , y 0 ) pour le
système (PP) est {(1/2, 0)}. Si y 0 > 0, la solution maximale passant par (x 0 , y 0 )
est telle que y est strictement décroissante et à valeurs strictement positives. Donc
y a une limite y ∞ ≥ 0. Si de plus y 0 ≤ 1 − 2x 0 , le triangle T ´ := {(x, y) ; ´ ≤
x ≤ 1/2, 0 ≤ y ≤ 1 − 2x} étant positivement invariant par le flot, t → x(t)
est strictement croissante et majorée par 1/2. On en déduit qu’elle a une limite
x ∞ ≥ 1/2. Le point (x ∞ , y ∞ ) est donc nécessairement un point fixe : dans D ´
ce ne peut être que (x ∞ , y ∞ ) = (1/2, 0). Reste le cas des points (x 0 , y 0 ) ∈ D ´
tels que y 0 > 1 − 2x 0 : ou bien l’orbite de (x 0 , y 0 ) atteint le triangle T ´ et
l’on conclut comme précédemment, ou bien cette orbite reste dans le trapèze
{(x, y) ; (1 − y)/2 ≤ x ≤ 2 − y, 0 ≤ y ≤ 1 − 2´}, et dans ce cas t → x(t)
est décroissante minorée par ´, donc elle a encore une limite x ∞ et l’on conclut
de la même façon. Ce résultat signifie que pour une donnée initiale dans D ´ ,
les prédateurs s’éteignent et la population de proies tend vers l’état d’équilibre
qu’elle aurait aussi seule.
Exercice 7.7
i). D’après la formule de Duhamel, pour tout s ∈ [0, b[,
x(s) = e
−s x 0 +
s
0
e
t−s a(t) (x(t))
2 dt ,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit