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7 • Équations autonomes
E est constante le long de toute solution à valeurs dans Q. C’est donc une
intégrale première. (Une méthode sans forme différentielle consiste à chercher
des fonctions G et H telles que E : (n, p) → G(n) + H ( p) soit une intégrale
première, c’est-à-dire que
(n (a − b p)
dG
dn
+ p (c n − d)
dH
d p
= 0 ,
ce qui montre qu’à une constante multiplicative près E est la fonction trouvée
ci-dessus.)
v). On vérifie sans peine que E a un minimum global en (d/c, a/b). Ses courbes de
niveau dans Q sont donc des courbes fermées. Par conséquent, toute trajectoire
de (LV) dans Q, nécessairement incluse dans une courbe de niveau de E, est
relativement compacte : ceci montre (par le théorème des bouts) que toutes
les solutions maximales sont globales. D’après la question iii), une trajectoire
revient forcément dans la zone d’où elle est partie initialement, aussi bien lorsque
t → +∞ que lorsque t → −∞. Comme elle est connexe, elle ne peut que
coïncider avec la courbe de niveau de {(n, p) ; E(n, p) = E(n 0 , p 0 )}.
Exercice 7.6
i). Comme f (0, y) = 0 et g(x, 0) = 0 quels que soient x et y, le champ de vecteurs
( f , g) est colinéaire aux axes x = 0 et y = 0, qui sont par conséquent des
droites invariantes par le flot. Plus précisément, quel que soit y 0 > 0, l’orbite
de y 0 pour l’équation scalaire y
= −2y − y
2 est égale à R
+∗ , qui s’identifie à
l’orbite de (0, y 0 ) pour le système (PP). De façon analogue, quel que soit x 0 > 0,
l’orbite de x 0 pour l’équation scalaire x
= x − 2x
2 est égale à ]0, x ∗ := 1/2[
si x 0 ∈]0, x ∗ [, {x ∗ } si x 0 = x ∗ , et ]x ∗ , +∞[ si x 0 > x ∗ , et c’est dans tous les
cas l’orbite de (x 0 , 0) pour le système (PP). Par suite, les orbites étant disjointes,
l’orbite d’un point (x 0 , y 0 ) avec x 0 > 0 et y 0 > 0 est incluse dans le quart de
plan Q := {(x, y) ∈ R
2 ; x > 0 , y > 0}.
ii). Les points critiques de (PP) vérifient (x = 0 ou 2x + y = 1) et (y = 0 ou
x − y = 2), ce qui laisse deux points possibles dans Q : (0, 0) et (x ∗ , 0). Le
système linéarisé en (0, 0) est formé des deux équations découplées x
= x et
y
= −2y. On a donc un point selle en (0, 0). Le système linéarisé en (x ∗ , 0) est
x
= −x − y/2, y
= −3y/2. La matrice
−1 −1/2
0 −3/2
ayant ses valeurs propres réelles de même signe (négatif), le point fixe (x ∗ , 0) est
un nœud attractif.
7 • Équations autonomes
E est constante le long de toute solution à valeurs dans Q. C’est donc une
intégrale première. (Une méthode sans forme différentielle consiste à chercher
des fonctions G et H telles que E : (n, p) → G(n) + H ( p) soit une intégrale
première, c’est-à-dire que
(n (a − b p)
dG
dn
+ p (c n − d)
dH
d p
= 0 ,
ce qui montre qu’à une constante multiplicative près E est la fonction trouvée
ci-dessus.)
v). On vérifie sans peine que E a un minimum global en (d/c, a/b). Ses courbes de
niveau dans Q sont donc des courbes fermées. Par conséquent, toute trajectoire
de (LV) dans Q, nécessairement incluse dans une courbe de niveau de E, est
relativement compacte : ceci montre (par le théorème des bouts) que toutes
les solutions maximales sont globales. D’après la question iii), une trajectoire
revient forcément dans la zone d’où elle est partie initialement, aussi bien lorsque
t → +∞ que lorsque t → −∞. Comme elle est connexe, elle ne peut que
coïncider avec la courbe de niveau de {(n, p) ; E(n, p) = E(n 0 , p 0 )}.
Exercice 7.6
i). Comme f (0, y) = 0 et g(x, 0) = 0 quels que soient x et y, le champ de vecteurs
( f , g) est colinéaire aux axes x = 0 et y = 0, qui sont par conséquent des
droites invariantes par le flot. Plus précisément, quel que soit y 0 > 0, l’orbite
de y 0 pour l’équation scalaire y
= −2y − y
2 est égale à R
+∗ , qui s’identifie à
l’orbite de (0, y 0 ) pour le système (PP). De façon analogue, quel que soit x 0 > 0,
l’orbite de x 0 pour l’équation scalaire x
= x − 2x
2 est égale à ]0, x ∗ := 1/2[
si x 0 ∈]0, x ∗ [, {x ∗ } si x 0 = x ∗ , et ]x ∗ , +∞[ si x 0 > x ∗ , et c’est dans tous les
cas l’orbite de (x 0 , 0) pour le système (PP). Par suite, les orbites étant disjointes,
l’orbite d’un point (x 0 , y 0 ) avec x 0 > 0 et y 0 > 0 est incluse dans le quart de
plan Q := {(x, y) ∈ R
2 ; x > 0 , y > 0}.
ii). Les points critiques de (PP) vérifient (x = 0 ou 2x + y = 1) et (y = 0 ou
x − y = 2), ce qui laisse deux points possibles dans Q : (0, 0) et (x ∗ , 0). Le
système linéarisé en (0, 0) est formé des deux équations découplées x
= x et
y
= −2y. On a donc un point selle en (0, 0). Le système linéarisé en (x ∗ , 0) est
x
= −x − y/2, y
= −3y/2. La matrice
−1 −1/2
0 −3/2
ayant ses valeurs propres réelles de même signe (négatif), le point fixe (x ∗ , 0) est
un nœud attractif.