Solution des exercices
249
vérifie lim n→+∞
p(n) = p + et
d
p
dn
=
p (c n − d)
n (a − b p)
,
qui a une limite strictement positive (ou infinie si p + = a/b). Ceci étant incompatible avec la limite finie pour
p, on a une contradiction. Les arguments à
invoquer sont analogues pour une solution qui serait à valeurs dans l’une des
deux autres régions {(n, p) ; 0 < n < d/c , p > a/b} (échanger les rôles de
n et p et considérer le comportement des solutions en « remontant » le temps),
et {(n, p) ; n > d/c , p > a/b} (considérer le comportement des solutions en
« remontant » le temps).
a/b
n
p
c/d
Figure 7.6 Orientation du champ de vecteurs (n, p) → (n (a − b p), p (c n − d)).
iv). Une façon commode de trouver une intégrale première à variables séparées
(lorsqu’elle existe) est de travailler avec des formes différentielles. On remarque
en effet qu’une fonction (n, p) à valeurs dans l’une quatre zones de Q où les
composantes du champ f ne s’annule pas est une solution de (LV) si et seulement
si
dt =
dn
n (a − b p)
=
d p
p (c n − d)
,
d’où
(c n − d) dn
n
=
(a − b p) d p
p
,
c’est-à-dire encore d(c n − d ln n) = d(a ln p − b p). On en déduit que la
fonction E : (n, p) → c n − d ln n + b p − a ln p est de différentielle nulle,
et donc constante le long de cette solution. Plus généralement on vérifie que
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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vérifie lim n→+∞
p(n) = p + et
d
p
dn
=
p (c n − d)
n (a − b p)
,
qui a une limite strictement positive (ou infinie si p + = a/b). Ceci étant incompatible avec la limite finie pour
p, on a une contradiction. Les arguments à
invoquer sont analogues pour une solution qui serait à valeurs dans l’une des
deux autres régions {(n, p) ; 0 < n < d/c , p > a/b} (échanger les rôles de
n et p et considérer le comportement des solutions en « remontant » le temps),
et {(n, p) ; n > d/c , p > a/b} (considérer le comportement des solutions en
« remontant » le temps).
a/b
n
p
c/d
Figure 7.6 Orientation du champ de vecteurs (n, p) → (n (a − b p), p (c n − d)).
iv). Une façon commode de trouver une intégrale première à variables séparées
(lorsqu’elle existe) est de travailler avec des formes différentielles. On remarque
en effet qu’une fonction (n, p) à valeurs dans l’une quatre zones de Q où les
composantes du champ f ne s’annule pas est une solution de (LV) si et seulement
si
dt =
dn
n (a − b p)
=
d p
p (c n − d)
,
d’où
(c n − d) dn
n
=
(a − b p) d p
p
,
c’est-à-dire encore d(c n − d ln n) = d(a ln p − b p). On en déduit que la
fonction E : (n, p) → c n − d ln n + b p − a ln p est de différentielle nulle,
et donc constante le long de cette solution. Plus généralement on vérifie que
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit