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7 • Équations autonomes
ii). D’après la proposition 7.2 , l’existence d’un cycle pour le système u
= f (u)
équivaut à l’existence d’un cycle pour le système u
= l(u) f (u). Il suffit alors
d’appliquer la première question au champ l f .
Exercice 7.5
i). Les points critiques sont les zéros de f : (n, p) → (n (a − b p), p (c n − d)).
On en trouve deux, à savoir (0, 0), (d/c, a/b).
ii). Supposons que (n, p) ∈ C
1 (J ; R
2 ) soit une solution de (LV) telle que n(t 0 ) = 0
pour une valeur t 0 ∈ J . Alors t ∈ R → (0, p(t 0 )e
−d(t−t 0 ) ) est solution du même
problème de Cauchy et coïncide donc partout avec (n, p). De même, si p(t 1 ) = 0
alors t ∈ R → (n(t 1 )e
a(t−t 1 ) , 0) coïncide avec (n, p). Ceci prouve que les axes
{(0, p) , p ∈ R} et {(n, 0) , n ∈ R} sont invariants par (LV). Par suite, le quart
de plan Q := {(n, p) ; n > 0, p > 0} l’est aussi (si une solution atteignait
une autre région du plan, sa trajectoire devrait passer par l’un des axes, à cause
du théorème des valeurs intermédiaires, et dans ce cas elle serait complètement
incluse dans cet axe).
iii). L’orientation du champ de vecteurs f dans Q dépend du signe de a − bp et de
cn − d, comme représenté sur la figure 7.6. Supposons que (n, p) ∈ C
1 (J ; R
2 )
soit une solution maximale de (LV) pour laquelle 0 < n(t) < d/c et 0 <
p(t) < a/b quel que soit t ∈ J . Alors J = R (ceci résulte du théorème 5.11
car (n, p) est bornée) et n est une fonction strictement croissante sur R, tandis
que p est strictement décroissante. Ces fonctions ont par conséquent des limites
n + ∈]0, d/c] et p + ∈ [0, a/b[ en +∞, d’où
lim
t→+∞
(n
(t), p
(t)) = f (n + , p + ) ,
et nécessairement f (n + , p + ) = 0 : d’après la première question, ceci est impossible car n + > 0 et p + < a/b. Supposons maintenant que (n, p) ∈ C
1 (J ; R
2 )
soit une solution maximale de (LV) pour laquelle d/c < n(t) et 0 < p(t) < a/b
quel que soit t ∈ J . Alors les fonctions n, p sont strictement croissantes et ont
donc des limites n + ∈]d/c, +∞], p + ∈]0, a/b] lorsque t → sup J (ou +∞ si J
n’est pas majoré). Si n était borné, alors J ne serait pas majoré (d’après le théorème des bouts) et comme précédemment on aboutirait à une contradiction (car
(n + , p + ) devrait être un point fixe, ce qui n’est pas possible puisque n + > d/c).
Donc pour tout t 0 ∈ J , n est un difféomorphisme de J ∩ [t 0 , +∞[ sur [n(t 0 ), +∞[.
Alors la fonction
p : [n(t 0 ), +∞[ → [ p(t 0 ), p + [
n
→
p(n) := p(n
−1 (n))
7 • Équations autonomes
ii). D’après la proposition 7.2 , l’existence d’un cycle pour le système u
= f (u)
équivaut à l’existence d’un cycle pour le système u
= l(u) f (u). Il suffit alors
d’appliquer la première question au champ l f .
Exercice 7.5
i). Les points critiques sont les zéros de f : (n, p) → (n (a − b p), p (c n − d)).
On en trouve deux, à savoir (0, 0), (d/c, a/b).
ii). Supposons que (n, p) ∈ C
1 (J ; R
2 ) soit une solution de (LV) telle que n(t 0 ) = 0
pour une valeur t 0 ∈ J . Alors t ∈ R → (0, p(t 0 )e
−d(t−t 0 ) ) est solution du même
problème de Cauchy et coïncide donc partout avec (n, p). De même, si p(t 1 ) = 0
alors t ∈ R → (n(t 1 )e
a(t−t 1 ) , 0) coïncide avec (n, p). Ceci prouve que les axes
{(0, p) , p ∈ R} et {(n, 0) , n ∈ R} sont invariants par (LV). Par suite, le quart
de plan Q := {(n, p) ; n > 0, p > 0} l’est aussi (si une solution atteignait
une autre région du plan, sa trajectoire devrait passer par l’un des axes, à cause
du théorème des valeurs intermédiaires, et dans ce cas elle serait complètement
incluse dans cet axe).
iii). L’orientation du champ de vecteurs f dans Q dépend du signe de a − bp et de
cn − d, comme représenté sur la figure 7.6. Supposons que (n, p) ∈ C
1 (J ; R
2 )
soit une solution maximale de (LV) pour laquelle 0 < n(t) < d/c et 0 <
p(t) < a/b quel que soit t ∈ J . Alors J = R (ceci résulte du théorème 5.11
car (n, p) est bornée) et n est une fonction strictement croissante sur R, tandis
que p est strictement décroissante. Ces fonctions ont par conséquent des limites
n + ∈]0, d/c] et p + ∈ [0, a/b[ en +∞, d’où
lim
t→+∞
(n
(t), p
(t)) = f (n + , p + ) ,
et nécessairement f (n + , p + ) = 0 : d’après la première question, ceci est impossible car n + > 0 et p + < a/b. Supposons maintenant que (n, p) ∈ C
1 (J ; R
2 )
soit une solution maximale de (LV) pour laquelle d/c < n(t) et 0 < p(t) < a/b
quel que soit t ∈ J . Alors les fonctions n, p sont strictement croissantes et ont
donc des limites n + ∈]d/c, +∞], p + ∈]0, a/b] lorsque t → sup J (ou +∞ si J
n’est pas majoré). Si n était borné, alors J ne serait pas majoré (d’après le théorème des bouts) et comme précédemment on aboutirait à une contradiction (car
(n + , p + ) devrait être un point fixe, ce qui n’est pas possible puisque n + > d/c).
Donc pour tout t 0 ∈ J , n est un difféomorphisme de J ∩ [t 0 , +∞[ sur [n(t 0 ), +∞[.
Alors la fonction
p : [n(t 0 ), +∞[ → [ p(t 0 ), p + [
n
→
p(n) := p(n
−1 (n))