Solution des exercices
247
quels que soient t et l, en dérivant par rapport à l on obtient en l = 0,
0 =
n
i=1
∂ L
∂q i
(u(t), u
(t))
d
dl
f
l
i (q)
|l=0
+
n
i=1
∂ L
∂ ˙
q i
(u(t), u
(t))
d
dl
d f
l
i (u(t))·u
(t)
|l=0
Par ailleurs,
d
dt
N (u(t), u
(t)) :=
n
i=1
d
dt
∂ L
∂ ˙
q i
(u(t), u(t))
d
dl
f
l
i (u(t))
|l=0
+
n
i=1
∂ L
∂ ˙
q i
(u(t), u(t))
d
dt
d
dl
f
l
i (u(t))
|l=0
.
Or le théorème de dérivation des fonctions composées et le théorème de Schwarz
montrent que
d
dt
d
dl
f
l
i (u(t))
=
d
dl
d f
l
i (u(t)) · u
(t)
.
Donc, par définition de l’équation d’Euler–Lagrange et d’après l’égalité obtenue plus
haut, on trouve que
d
dt
N (u(t), u
(t)) = 0 .
Exercice 7.4
i). Supposons que u ∈ C
1 (R; V) soit une solution périodique de période T . Alors
G := {u(t) ; t ∈ [0, T [} est une courbe fermée simple dans V, séparant le
plan en deux composantes connexes d’après le théorème de Jordan. Soit U la
composante bornée : c’est l’intérieur de G ; de plus, puisque V est simplement
connexe, U est inclus dans V. Donc d’après la formule de Green–Riemann,
G
f 1 (x 1 , x 2 ) dx 2 − f 2 (x 1 , x 2 ) dx 1 =
U
div f (x 1 , x 2 ) dx 1 ⊗ dx 2 .
Or par définition de G,
G
f 1 (x 1 , x 2 ) dx 2 − f 2 (x 1 , x 2 ) dx 1 =
T
0
f 1 (u 1 (t), u 2 (t)) u
2 (t) − f 2 (u 1 (t), u 2 (t)) u
1 (t)
dt = 0
puisque u
1 (t) = f 1 ((u 1 (t), u 2 (t)) et u
2 (t) = f 2 (u 1 (t), u 2 (t)) (par définition de u).
On en déduit que
U
div f (x 1 , x 2 ) dx 1 ⊗ dx 2 = 0, ce qui contredit l’hypothèse
div f > 0 dans U .
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