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7 • Équations autonomes
puisque
∂ L
∂w
≡ 0,
∂ L
∂c
≡ 0. (On dit que w et c sont des variables cycliques.) Par
suite,
∂ L
∂ ˙
w
= C ( ˙
w + ˙
c cos u) et
∂ L
∂ ˙
c
= A ˙
c sin
2 u + C ( ˙
w + ˙
c cos u) cos u
sont des intégrales premières du mouvement. La dernière équation du mouvement
s’écrit quant à elle
d
dt
A ˙
u
= (A − C) ˙
c
2 cos u sin u − C ˙
c ˙
w sin u + mg sin u .
D’après les deux premières intégrales premières, une solution est telle que
C ( ˙
w + ˙
c cos u) ≡ g , A ˙
c sin
2 u + g cos u ≡ a
(7.2)
De plus, une troisième intégrale première est fournie par l’énergie E associée à L, c’està-dire le Hamiltonien (voir l’exercice 3.6, chapitre 3) exprimé en variables (u, ˙
c, ˙
u, ˙
w) :
E = ˙
u
∂ L
∂ ˙
u
+ ˙
c
∂ L
∂ ˙
c
+ ˙
w
∂ L
∂ ˙
w
− L .
La fonction L étant quadratique en ( ˙
c, ˙
u, ˙
w), on obtient simplement
E = L + m g cos u =
1
2
A ( ˙
u
2 + ˙
c
2 sin
2 u) +
1
2
C ( ˙
w + ˙
c cos u)
2 + m g cos u .
En particulier, le long d’une solution vérifiant (7.2),
E =
1
2
A ˙
u
2 +
1
2
(a − g cos u)
2
A sin
2 u
+
1
2
g
2
C
+ mg cos u .
Autrement dit, les mouvements de la toupie sont gouvernés par les équations de la
forme
˙
u
2 +
(a − g cos u)
2
sin
2 u
+ b cos u = d ,
où a, b, g, d sont des paramètres dépendant des valeurs des trois intégrales premières
et des données physiques A, C, et mg.
Exercice 7.3 Supposons que u soit une solution de l’équation d’Euler–Lagrange
associée à L. Comme par hypothèse on a
L(u(t), u
(t)) = L( f
l (u(t)), d f
l (u(t)) · u
(t))