Solution des exercices
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SOLUTION DES EXERCICES
Exercice 7.1 La fonction I : (x, v) →
1
2 v
2 +
1
2 x
2
−
1
6 x
3 est une intégrale
première de l’équation écrite dans le plan de phase :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dx
dt
= v ,
dv
dt
= − x +
1
2
x
2 .
Cette fonction I admet un minimum local strict en (0, 0), un point selle en (2, 0),
et ses courbes de niveau ont l’allure représentée sur la figure 7.5. Le portrait de
v
x
Figure 7.5 Allure des courbes de niveau de I .
phase comporte notamment une orbite homocline à (2, 0) et des orbites périodiques
concentriques autour de (0, 0) à l’intérieur de l’orbite homocline.
Exercice 7.2 L’équation d’Euler–Lagrange pour L s’écrit
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
d
dt
∂ L
∂ ˙
w
= 0 ,
d
dt
∂ L
∂ ˙
c
= 0 ,
d
dt
∂ L
∂ ˙
u
=
∂ L
∂u
,
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