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7 • Équations autonomes
(C’est la même définition que dans l’exercice 2.4 p. 65, réécrite avec la notation
introduite au §4.1 : (
∂
∂u 1
, . . . ,
∂
∂u n
) désigne la base canonique de R
d .) On dit
qu’un champ de vecteurs v sur U × R
n est un champ de vecteurs hamiltonien
s’il s’écrit v =
v K , où la notation
v K signifie, quelle que soit la fonction K ∈
C
1 (U × R
n ; R),
v K =
n
j=1
∂ K
∂ p j
∂
∂q j
−
∂ K
∂q j
∂
∂ p j
.
Si
v K et
v H sont deux champs de vecteurs hamiltoniens, montrer en utilisant
l’identité de Jacobi (voir l’exercice 2.4, chapitre 2) que [ v K ,
v H ] =
v {H ,K } , où
{·, ·} désigne le crochet de Poisson :
{K , H } :=
n
j=1
∂ K
∂q j
∂ H
∂ p j
−
∂ K
∂ p j
∂ H
∂q j
.
iii). Montrer que K est une intégrale première de (H) si et seulement si {K , H } = 0.
iv). Montrer que l’ensemble des solutions de (H) est invariant par les transformations
w l si et seulement si [ v K ,
v H ] = 0.