Exercices
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iv). En se plaçant dans le cadre de la question précédente, on note
R(v; ´, v) = r ´ (v) et F(v, ´) :=
1
´
( R(2p; ´, v) − R(0; ´, v) ) .
Montrer que F(v, ´) = p ( v −
1
4 v
3 ) + O(´).
v). À l’aide du théorème des fonctions implicites, montrer qu’il existe ´ 1 > 0 et une
application r définie sur [0, ´ 1 [ telle que r(0) = 2 et F(r(´), ´) = 0 pour tout
´ ∈ [0, ´ 1 [.
vi). En déduire que pour ´ ∈ [0, ´ 1 [, l’équation (E ´ ) possède une solution périodique
que l’on représentera dans le plan de phase.
Exercice 7.10 Théorème de Noether, version Hamiltonienne
Soient un Hamiltonien H ∈ C
3 (U × R
n ; R), où U est un ouvert R
n , et le système :
(H)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dq j
dt
=
∂ H
∂ p j
(q, p) ,
d p j
dt
= −
∂ H
∂q j
(q, p) .
Soit une famille à un paramètre d’applications w l de U × R
n dans V × R
n , pour
l ∈ R, avec w
0 = Id, w l w m = w l+m quels que soient l et m, et (l, q, p) → w l (q, p)
deux fois différentiable. On dit que (w l ) l∈R est un groupe de transformations à un
paramètre . On définit son générateur infinitésimal par
v : (q, p) → v(q, p) :=
d
dl
(w l (q, p)) |l=0 .
i). Inversement, montrer qu’un champ de vecteurs v complet est le générateur
infinitésimal d’un unique groupe de transformations à un paramètre (w l ).
ii). Pour deux champs de vecteurs dans un ouvert U de R
d ,
v =
d
j=1
f j
∂
∂u j
et w =
d
j=1
c j
∂
∂u j
,
avec f j , c j ∈ C
1 (U; R) on définit le crochet de Lie
[v, w] :=
d
j=1
d
i=1
f i
∂c j
∂u i
− c i
∂f j
∂u i
∂
∂u j
.
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