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7 • Équations autonomes
b) Montrer que pour tout T ∈ B ´ , pour tout t ∈ [0, T ],
0 < x ´ (t) e
−t
≤ 2 v exp
t
0
x ´ (s) ds
.
c) Soit T < ln(1 +
1
2v ). Déduire de la question précédente que pour tout T ∈
B ´ ∩ [0, T ], pour tout t ∈ [0, T ],
x ´ (t) ≤
2 v e
t
1 − 2 v (e t − 1)
.
d) Déduire de ce qui précède l’existence de ´ > 0 tel que pour tout ´ ∈ [0, ´] on
ait T ´ > T .
Exercice 7.9 On considère l’équation différentielle scalaire
(E ´ )
d
2 x
dt 2 − ´(x
2
− 1)
dx
dt
+ x = 0 ,
où ´ ∈ [0, 1[ est un (petit) paramètre.
i). Écrire l’équation (E ´ ) comme un système (S ´ ) dans le plan de phase {(x, y) =
(x, x
)}. Que peut-on dire du point (0, 0) ?
ii). Montrer que (x, y) ∈ C
1 (J ; R
2
\{(0, 0)}) est solution du système (S ´ ) si et seulement si (x, y) = (r cos u, r sin u) avec r à valeurs strictement positives et (r , u)
est solution de
(S ´ )
⎧
⎨
⎩
r
= ´ (r
2 cos
2 u − 1) r sin
2 u,
u
= −1 + ´ (r
2 cos
2 u − 1) sin u cos u.
iii). Soient v > 1 et (r ´ , u ´ ) ∈ C
1 (]T
−
´ , T
+
´ [) la solution maximale de (S ´ ) telle que
r ´ (0) = v, u ´ (0) = 0.
a) Montrer qu’il existe ´ 0 > 0, K > 0 et C > 0 tels que, pour ´ ∈ [0, ´ 0 ] on ait
T
−
´ < −4p, |r ´ (t) − v| ≤ K ´ et |u ´ (t) + t| ≤ C ´ pour tout t ∈ [−4p, 0].
b) Quitte à diminuer ´ 0 , montrer que pour tout ´ ∈ [0, ´ 0 ], il existe t ´ ∈]−4p, 0[
tel que u ´ (t ´ ) = 2p et u ´ soit un difféomorphisme de [t ´ , 0] sur [0, 2p]. On
note désormais r ´ = r ´ ◦ u
−1
´ .
c) Montrer qu’il existe
C > 0 tel que pour tout v ∈ [0, 2p],
d r ´
dv
+ ´ ( r ´ (v)
2 cos
2 v − 1 ) r ´ (v) sin
2 v
≤
C ´
2
.