Exercices
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iii). Distinguer trois zones de {(x, y) ∈ R
2 ; x ≥ 0 , y ≥ 0} où f et g sont de signe
constant, et tracer l’allure du champ de vecteurs de composantes ( f , g) dans
chacune de ces zones.
iv). Soit 0 < ´ <
1
2 . Montrer que l’ensemble
D ´ :=
(x, y) ∈ R
2 ; 0 ≤ y ≤ 1 − 2´, ´ ≤ x ≤ 2 + y
est positivement invariant, c’est-à-dire que le champ est rentrant sur les frontières
du domaine D ´ .
v). Montrer que l’ensemble v-limite de tout point (x 0 , y 0 ) ∈ D ´ est réduit à
{(1/2, 0)}.
Exercice 7.7 On considère une équation (du même type que dans l’exercice 5.6) :
dx
dt
= −x + a(t) x
2 ,
où a ∈ C(R
+ ; R). On fait ici l’hypothèse que |a(t)| ≤ 1 pour tout t ∈ R
+ . Soient
x 0 ∈] − 1, 1[ et x ∈ C
1 ([0, b[; R) la solution maximale de l’équation ci-dessus telle
que x(0) = x 0 . L’objectif est de montrer par un argument de « bootstrap » (proposition
7.6) que b = +∞.
Soient d ∈]0, 1[ tel que |x 0 | < 1 − d, r := 1 − d, et w(t) := e
−dt
|x 0 | pour t ∈ R
+ .
On note z(t) := |x(t)| pour t ∈ [0, b[.
i). Montrer que si t ∈]0, b[ est tel que z(s) < r pour tout s ∈ [0, t] alors z(s) ≤ w(s)
pour tout s ∈ [0, t].
ii). En déduire que z(t) ≤ w(t) pour tout t ∈ [0, b[.
iii). Conclure.
Exercice 7.8 On considère l’équation différentielle scalaire
(E ´ )
dx
dt
= x + x
2 + ´ x
3 ,
où ´ ∈]0, 1/3[. Soient v > 0 et x ´ ∈ C
1 ([0, T ´ [) la solution maximale sur R
+ de
l’équation (E ´ ) pour la donnée initiale x ´ (0) = v.
i). En utilisant l’exercice 5.7 (p. 160), calculer T 0 en fonction de v.
ii). On cherche maintenant à minorer T ´ indépendamment de ´. Soit
B ´ :=
t ∈ [0, T ´ [ ;
t
0
´ (x ´ (s))
2 ds < ln 2
.
a) Montrer qu’il existe b ´ > 0 tel que B ´ = [0, b ´ [.
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