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7 • Équations autonomes
ii). Montrer le même résultat en supposant « seulement » qu’il existe l ∈ C
1 (V; R
+∗ )
tel que div (l f )(x) > 0 pour tout x ∈ V.
Exercice 7.5 On considère le système de Lotka-Volterra
(LV)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dn
dt
= n (a − b p) ,
d p
dt
= p (c n − d) ,
pour a, b, c, d, des paramètres strictement positifs.
i). Déterminer l’ensemble des points critiques du système (LV).
ii). Montrer que les axes sont invariants par le système (LV), et que le quart de
plan Q := {(n, p) ; n > 0, p > 0} est invariant également (c’est-à-dire que si
n(0) > 0 et p(0) > 0 et (n, p) est solution de (LV) alors n(t) > 0 et p(t) > 0
quel que soit t).
iii). Représenter l’orientation du champ de vecteurs associé à (LV) dans quatre zones
caractéristiques de Q et montrer que chaque courbe intégrale rencontre successivement les quatre zones en question.
iv). Déterminer une intégrale première à variables séparées (c’est-à-dire de la forme
E(n, p) = G(n) + H ( p)) de (LV) dans Q.
v). En déduire que toutes les solutions pour lesquelles n(0) > 0 et p(0) > 0 sont
périodiques.
Exercice 7.6 On considère le système différentiel
(PP)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dx
dt
= x − x y − 2 x
2 =: f (x, y) ,
dy
dt
= − 2 y + x y − y
2 =: g(x, y) .
(Ceci peut représenter un modèle prédateurs-proies dans lequel les prédateurs comme
les proies s’entretuent.)
i). Montrer que les ensembles {(x, y) ∈ R
2 ; , y = 0 , x > 0} et {(x, y) ∈
R
2 ; x = 0 , y > 0} correspondent à des trajectoires pour le système (PP). En
déduire que toute solution (x, y) ∈ C
1 (J ; R
2 ) telle que si x(0) > 0 et y(0) > 0
vérifie x(t) > 0 et y(t) > 0 quel que soit t ∈ J .
ii). Calculer les points critiques de (PP) dans {(x, y) ∈ R
2 ; x ≥ 0 , y ≥ 0} et
déterminer leur nature.