Exercices
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EXERCICES
Exercice 7.1 Trouver une intégrale première pour l’équation
d
2 x
dt 2 + x −
1
2
x
2 = 0
et tracer son portrait de phase.
Exercice 7.2 Écrire l’équation d’Euler–Lagrange (voir §3.4) pour le lagrangien
associé au mouvement d’une toupie dont la pointe est fixe (voir §5.1.1) :
L(u, ˙
c, ˙
u, ˙
w) =
1
2
A ( ˙
u
2 + ˙
c
2 sin
2 u) +
1
2
C ( ˙
w + ˙
c cos u)
2
− m g cos u .
Trouver trois intégrales premières et en déduire que les équations du mouvement se
ramènent à une équation scalaire autonome d’ordre 1 en u.
Exercice 7.3 Théorème de Noether, version lagrangienne
Soit un lagrangien L ∈ C
2 (U × R
n ; R), où U est un ouvert de R
n , que l’on suppose
invariant par une famille à un paramètre de difféormorphimes f
l de U dans V ⊂ R
n ,
pour l ∈ R (ou un voisinage de 0), c’est-à-dire que pour tout (q, ˙
q) ∈ U × R
n et pour
tout l,
L(q, ˙
q) = L( f
l (q), d f
l (q) · ˙
q) .
On suppose que f
0 = Id et que l’application (l, q) → f
l (q) est deux fois différenitable. Montrer que
N : (q, ˙
q) → N (q, ˙
q) :=
n
i=1
∂ L
∂ ˙
q i
(q, ˙
q)
d
dl
f
l
i (q)
|l=0
définit une intégrale première pour l’équation d’Euler–Lagrange associée à L.
Exercice 7.4 Critère de Bendixson–Dulac
Soient V un ouvert simplement connexe de R
2 (voir la définition 4.12, p. 108), et f
un champ de vecteurs de classe C
1 sur V.
i). On suppose que div f (x) > 0 pour tout x ∈ V Montrer que le système u
=
f (u) n’a pas de solution périodique dans V.
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