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7 • Équations autonomes
s m ∈] − t, t[ (avec t comme dans le théorème 7.12) tels que f t n +s n (y) et
f t m +s m (y) appartiennent à S. D’après le corollaire 7.21, ceci implique
f t n +s n (y) = f t m +s m (y) .
Comme t n + s n = t m + s m , et que y n’est pas un équilibre, l’orbite de y est
donc un cycle g d’après la proposition 7.9), et g ⊂ L v (v).
Pour prouver que L v (v) est égal à au cycle g, raisonnons par l’absurde.
Supposons g strictement inclus dans L v (v). Soit y 0 ∈ L v (v), y 0 /
∈ g, et n 0
tel que 1 < 2
n 0 dist(y 0 , g). Notons, pour tout n ∈ N,
A n :=
z∈g
B(z; 1/2
n ) .
Alors, pour tout n ≥ n 0 , y 0 /
∈ A n . De plus, pour tout n ≥ n 0 , il existe y n
tel que y n ∈ L v (v) ∩ A n et y n /
∈ g. En effet, supposons que pour tout y ∈
L v (v), ou bien y ∈ g ou bien y /
∈ A n . Comme le complémentaire de A n+1
contient le complémentaire de A n et g ⊂ A n+2 , y 0 ∈ L v (v) ∩ (U \ A n+1 ),
on aurait alors
L v (v) ⊂ A n+2 ∪ (U \ A n+1 ) , L v (v)∩ A n+2 = ∅ , L v ∩ (U \ A n+1 ) = ∅ .
Les ensembles A n+2 et (U \ A n+1 ) étant ouverts, cela contredirait la connexité
de L v (v) (voir la proposition 7.17).
Maintenant, par compacité de L v (v), la suite (y n ) admet une sous-suite
convergente vers un point z et par construction de (y n ), dist(z, g) = 0, donc
z ∈ g puisque g est compact. Pour simplifier, on note encore (y n ) la suite
extraite. Soit S une section locale en z et Z une boîte à flot associée. Pour n
assez grand, y n ∈ Z, donc il existe s n ∈] − t, t[ tel que x n := f s n (y n ) ∈ S,
et x n = z puisque y n /
∈ g. Comme y n ∈ L v (v), on a aussi x n ∈ L v (v).
Autrement dit, z et x n sont deux points distincts de L v (v) ∩ S. Ceci est en
contradiction avec le corollaire 7.21.
C’est donc que notre hypothèse était absurde : on a nécessairement g =
L v (v).
7 • Équations autonomes
s m ∈] − t, t[ (avec t comme dans le théorème 7.12) tels que f t n +s n (y) et
f t m +s m (y) appartiennent à S. D’après le corollaire 7.21, ceci implique
f t n +s n (y) = f t m +s m (y) .
Comme t n + s n = t m + s m , et que y n’est pas un équilibre, l’orbite de y est
donc un cycle g d’après la proposition 7.9), et g ⊂ L v (v).
Pour prouver que L v (v) est égal à au cycle g, raisonnons par l’absurde.
Supposons g strictement inclus dans L v (v). Soit y 0 ∈ L v (v), y 0 /
∈ g, et n 0
tel que 1 < 2
n 0 dist(y 0 , g). Notons, pour tout n ∈ N,
A n :=
z∈g
B(z; 1/2
n ) .
Alors, pour tout n ≥ n 0 , y 0 /
∈ A n . De plus, pour tout n ≥ n 0 , il existe y n
tel que y n ∈ L v (v) ∩ A n et y n /
∈ g. En effet, supposons que pour tout y ∈
L v (v), ou bien y ∈ g ou bien y /
∈ A n . Comme le complémentaire de A n+1
contient le complémentaire de A n et g ⊂ A n+2 , y 0 ∈ L v (v) ∩ (U \ A n+1 ),
on aurait alors
L v (v) ⊂ A n+2 ∪ (U \ A n+1 ) , L v (v)∩ A n+2 = ∅ , L v ∩ (U \ A n+1 ) = ∅ .
Les ensembles A n+2 et (U \ A n+1 ) étant ouverts, cela contredirait la connexité
de L v (v) (voir la proposition 7.17).
Maintenant, par compacité de L v (v), la suite (y n ) admet une sous-suite
convergente vers un point z et par construction de (y n ), dist(z, g) = 0, donc
z ∈ g puisque g est compact. Pour simplifier, on note encore (y n ) la suite
extraite. Soit S une section locale en z et Z une boîte à flot associée. Pour n
assez grand, y n ∈ Z, donc il existe s n ∈] − t, t[ tel que x n := f s n (y n ) ∈ S,
et x n = z puisque y n /
∈ g. Comme y n ∈ L v (v), on a aussi x n ∈ L v (v).
Autrement dit, z et x n sont deux points distincts de L v (v) ∩ S. Ceci est en
contradiction avec le corollaire 7.21.
C’est donc que notre hypothèse était absurde : on a nécessairement g =
L v (v).