7.3 Ensembles v-limite
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S
y
~
~
S
y
y
y
y
0
0
1
1
0
0
y
Figure 7.4 Flot et section ; composante D en hachuré.
supposer qu’on est dans le second cas. Alors D est négativement invariant
par le flot, c’est-à-dire que pour tout y ∈ D, f t (y) ∈ D pour t < 0. En effet,
le flot ne peut sortir ni par I ni par {f t (v) ; t ∈ [t 0 , t 1 ] }. Ceci implique en
particulier que f t (y 1 ) appartient à R
2
\D pour tout t > t 1 . De plus, S\I est
constitué de deux intervalles I 0 et I 1 contenant respectivement y 0 et y 1 dans
leur bord. Or on peut joindre tout point de I 0 assez proche de y 0 à f −´ (y 0 )
avec ´ > 0 assez petit, point appartenant à D, sans passer par le bord de
D, on en déduit que I 0 est dans D. Donc, si y 2 = f t 2 (v) ∈ S et t > t 2 , y 2
appartient nécessairement à I 1 .
Corollaire 7.21 Si S est une section locale, alors pour tout v ∈ U , L v (v) ∩ S contient
au plus un point.
Démonstration. Supposons que L v (v) ∩ S contienne deux points distincts,
y 1 et y 2 . Soient alors des boîtes à flot disjointes, V 1 y 1 et V 2 y 2 .
Comme ces points sont dans L v (z), l’orbite z repasse une infinité de fois dans
chacune de ces boîtes, et donc aussi par chacun des intervalles I 1 = V 1 ⊂ S
et I 2 = V 2 ⊂ S. Plus précisément, il existe une suite (t n ), croissante et
tendant vers +∞ avec n, telle f t 2n+1 (v) ∈ I 1 et f t 2n (v) ∈ I 2 . Comme I 1 et I 2
sont disjoints, ceci contredit le lemme 7.20.
Démonstration. [Théorème de Poincaré-Bendixson] Supposons L v (v)
compact et y ∈ L v (v). On va montrer que l’orbite de y, qui est incluse
dans L v (v), est un cycle. On considère pour cela L v (y), qui est un sousensemble non vide de L v (v). Soit alors z ∈ L v (y), S une section locale
en z et Z une boîte à flot associée. Il existe une suite (t n ) tendant vers +∞
telle que f t n (y) appartienne au voisinage Z de z pour tout n. En particulier,
il existe des instants t n et t m distants de plus de 2t, et des instants s n et
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Figure 7.4 Flot et section ; composante D en hachuré.
supposer qu’on est dans le second cas. Alors D est négativement invariant
par le flot, c’est-à-dire que pour tout y ∈ D, f t (y) ∈ D pour t < 0. En effet,
le flot ne peut sortir ni par I ni par {f t (v) ; t ∈ [t 0 , t 1 ] }. Ceci implique en
particulier que f t (y 1 ) appartient à R
2
\D pour tout t > t 1 . De plus, S\I est
constitué de deux intervalles I 0 et I 1 contenant respectivement y 0 et y 1 dans
leur bord. Or on peut joindre tout point de I 0 assez proche de y 0 à f −´ (y 0 )
avec ´ > 0 assez petit, point appartenant à D, sans passer par le bord de
D, on en déduit que I 0 est dans D. Donc, si y 2 = f t 2 (v) ∈ S et t > t 2 , y 2
appartient nécessairement à I 1 .
Corollaire 7.21 Si S est une section locale, alors pour tout v ∈ U , L v (v) ∩ S contient
au plus un point.
Démonstration. Supposons que L v (v) ∩ S contienne deux points distincts,
y 1 et y 2 . Soient alors des boîtes à flot disjointes, V 1 y 1 et V 2 y 2 .
Comme ces points sont dans L v (z), l’orbite z repasse une infinité de fois dans
chacune de ces boîtes, et donc aussi par chacun des intervalles I 1 = V 1 ⊂ S
et I 2 = V 2 ⊂ S. Plus précisément, il existe une suite (t n ), croissante et
tendant vers +∞ avec n, telle f t 2n+1 (v) ∈ I 1 et f t 2n (v) ∈ I 2 . Comme I 1 et I 2
sont disjoints, ceci contredit le lemme 7.20.
Démonstration. [Théorème de Poincaré-Bendixson] Supposons L v (v)
compact et y ∈ L v (v). On va montrer que l’orbite de y, qui est incluse
dans L v (v), est un cycle. On considère pour cela L v (y), qui est un sousensemble non vide de L v (v). Soit alors z ∈ L v (y), S une section locale
en z et Z une boîte à flot associée. Il existe une suite (t n ) tendant vers +∞
telle que f t n (y) appartienne au voisinage Z de z pour tout n. En particulier,
il existe des instants t n et t m distants de plus de 2t, et des instants s n et
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit