236
7 • Équations autonomes
Remarque : Inversement, si L v (v) est compact et non vide, l’orbite
{f t (v) ; t ∈ R
+
} est relativement compacte, puisqu’elle admet au moins une
valeur d’adhérence, et toutes ses valeurs d’adhérence sont incluses dans le
compact L v (v).
7.3.2 Cas de la dimension 2
Dans R
2 , les sections locales « planes » sont des segments de droite, en particulier
orientables. De plus, on dispose du
Théorème 7.18 (Jordan) Une courbe continue fermée simple divise le plan en deux
régions connexes, l’une bornée et l’autre non bornée.
(La démonstration de ce théorème d’apparence très intuitive est difficile, voir par
exemple [11, p. 362]. Pour les courbes de classe C
1 par morceaux, qui nous suffiront,
elle peut se faire grâce à la notion d’indice en analyse complexe.)
Grâce à ces deux ingrédients, on peut démontrer le
Théorème 7.19 (Poincaré–Bendixson) Pour un champ de vecteurs dans R
2 , tout
ensemble v-limite compact non vide et sans point fixe est un cycle.
La démonstration n’est pas très difficile mais assez longue. Elle repose en premier
lieu sur le
Lemme 7.20 Si S est une section locale, si (t n ) est une suite croissante telle que
y n = f t n (v) ∈ S, alors la suite (y n ) est aussi monotone le long de S, c’est-à-dire
dét(y n+1 − y n , y n − y n−1 ) ≥ 0 .
Démonstration. Il suffit de faire la preuve pour trois points y 0 , y 1 , y 2 . Fixons
donc y 0 = f t 0 (v) et y 1 , = f t 1 (v) appartenant à S avec t 0 < t 1 et y 0 = y 1 .
On peut supposer que l’orbite de v ne coupe pas S dans l’intervalle I :=
[y 0 , y 1 ] : si tel était le cas, on remplacerait y 0 par y 0 = f t 0 (y 1 ) le premier
point appartenant à S en partant de y 1 dans le sens des t < t 1 (voir la figure
7.4), car montrer que y 0 , y 1 et y 2 = f t (v), t > t 1 sont ordonnés revient à
montrer que y 0 , y 1 et y 2 le sont.
Soit C la courbe formée de la réunion de I et de {f s (v) ; s ∈ [t 0 , t 1 ]}. C’est
une courbe fermée, simple grâce à la précaution que l’on a prise et au fait
qu’une orbite ne s’intersecte pas elle-même. Donc d’après le théorème 7.18,
elle divise le plan en deux composantes connexes. Soit D celle qui est bornée.
Puisque S est une section, le champ f pointe vers le même demi-plan le
long de S, et en particulier le long de I . En particulier, il pointe soit vers D
soit vers R
2
\D. Quitte à renverser le temps (et échanger y 0 et y 1 ), on peut
7 • Équations autonomes
Remarque : Inversement, si L v (v) est compact et non vide, l’orbite
{f t (v) ; t ∈ R
+
} est relativement compacte, puisqu’elle admet au moins une
valeur d’adhérence, et toutes ses valeurs d’adhérence sont incluses dans le
compact L v (v).
7.3.2 Cas de la dimension 2
Dans R
2 , les sections locales « planes » sont des segments de droite, en particulier
orientables. De plus, on dispose du
Théorème 7.18 (Jordan) Une courbe continue fermée simple divise le plan en deux
régions connexes, l’une bornée et l’autre non bornée.
(La démonstration de ce théorème d’apparence très intuitive est difficile, voir par
exemple [11, p. 362]. Pour les courbes de classe C
1 par morceaux, qui nous suffiront,
elle peut se faire grâce à la notion d’indice en analyse complexe.)
Grâce à ces deux ingrédients, on peut démontrer le
Théorème 7.19 (Poincaré–Bendixson) Pour un champ de vecteurs dans R
2 , tout
ensemble v-limite compact non vide et sans point fixe est un cycle.
La démonstration n’est pas très difficile mais assez longue. Elle repose en premier
lieu sur le
Lemme 7.20 Si S est une section locale, si (t n ) est une suite croissante telle que
y n = f t n (v) ∈ S, alors la suite (y n ) est aussi monotone le long de S, c’est-à-dire
dét(y n+1 − y n , y n − y n−1 ) ≥ 0 .
Démonstration. Il suffit de faire la preuve pour trois points y 0 , y 1 , y 2 . Fixons
donc y 0 = f t 0 (v) et y 1 , = f t 1 (v) appartenant à S avec t 0 < t 1 et y 0 = y 1 .
On peut supposer que l’orbite de v ne coupe pas S dans l’intervalle I :=
[y 0 , y 1 ] : si tel était le cas, on remplacerait y 0 par y 0 = f t 0 (y 1 ) le premier
point appartenant à S en partant de y 1 dans le sens des t < t 1 (voir la figure
7.4), car montrer que y 0 , y 1 et y 2 = f t (v), t > t 1 sont ordonnés revient à
montrer que y 0 , y 1 et y 2 le sont.
Soit C la courbe formée de la réunion de I et de {f s (v) ; s ∈ [t 0 , t 1 ]}. C’est
une courbe fermée, simple grâce à la précaution que l’on a prise et au fait
qu’une orbite ne s’intersecte pas elle-même. Donc d’après le théorème 7.18,
elle divise le plan en deux composantes connexes. Soit D celle qui est bornée.
Puisque S est une section, le champ f pointe vers le même demi-plan le
long de S, et en particulier le long de I . En particulier, il pointe soit vers D
soit vers R
2
\D. Quitte à renverser le temps (et échanger y 0 et y 1 ), on peut