7.3 Ensembles v-limite
235
complémentaire de l’ensemble v-limite est par définition l’ensemble des w
tels qu’il existe ´ 0 > 0 et t 0 > 0 avec
f t (v) − w ≥ ´ 0
pour tout t ≥ t 0 . Or pour un tel w, on a évidemment
f t (v) − z ≥
1
2 ´ 0
pour tout t ≥ t 0 et pour tout z ∈ B(w;
1
2 ´ 0 ). Donc le complémentaire de
l’ensemble v-limite est ouvert. Si F : E → R est continue et telle que
t → F(f t (v)) soit simplement monotone, alors il existe a ∈ [−∞, +∞] tel
que
lim
t→+∞
F(f t (v)) = a .
Si y ∈ L v (v), il existe une suite (t n ) n∈N tendant vers +∞ telle que
lim
n→+∞
f t n (v) = y .
Par continuité de F, on en déduit
a = lim
n→+∞
F(f t n (v)) = F(y)
(en particulier, |a| < ∞). Ceci prouve que L v (v) ⊂ { y ; F(y) = a }.
Proposition 7.17 Soit v ∈ E. Si l’ensemble {f t (v) ; t ∈ R
+
} est relativement
compact, alors L v (v) est compact non vide et connexe.
Démonstration. La compacité de L v (v) est quasi-immédiate : c’est un
fermé inclus dans le compact
{f t (v) ; t ∈ R + } .
Il est non vide puisque l’orbite {f t (v) ; t ∈ R
+
} admet au moins une
valeur d’adhérence. La connexité de L v (v) demande un peu plus de travail.
Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe deux ouverts disjoints
U 1 et U 2 tels que L v (v) ⊂ U 1 ∪ U 2 avec L v (v) ∩ U i = ∅. Par définition de
L v (v), il existe donc une suite (t n ) strictement croissante telle que f t 2n (v) ∈
U 2 , f t 2n+1 (v) ∈ U 1 . Comme l’ensemble { f t (v) ; t 2n ≤ t ≤ t 2n+1 } est
connexe (image d’un connexe par une application continue), il ne peut être
inclus dans U 1 ∪ U 2 . Donc pour tout n ∈ N, il existe t n ∈ ]t 2n , t 2n+1 [ tel
que f t n (v) /
∈ U 1 ∪ U 2 . Or la suite f t n (v) admet une valeur d’adhérence
a ∈ L v (v), et cette limite appartient au complémentaire de U 1 ∪ U 2 (car
c’est un fermé). Ceci contredit l’inclusion L v (v) ⊂ U 1 ∪ U 2 . C’est donc que
de tels ouverts U 1 et U 2 n’existent pas, ce qui montre que L v (v) est connexe.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
235
complémentaire de l’ensemble v-limite est par définition l’ensemble des w
tels qu’il existe ´ 0 > 0 et t 0 > 0 avec
f t (v) − w ≥ ´ 0
pour tout t ≥ t 0 . Or pour un tel w, on a évidemment
f t (v) − z ≥
1
2 ´ 0
pour tout t ≥ t 0 et pour tout z ∈ B(w;
1
2 ´ 0 ). Donc le complémentaire de
l’ensemble v-limite est ouvert. Si F : E → R est continue et telle que
t → F(f t (v)) soit simplement monotone, alors il existe a ∈ [−∞, +∞] tel
que
lim
t→+∞
F(f t (v)) = a .
Si y ∈ L v (v), il existe une suite (t n ) n∈N tendant vers +∞ telle que
lim
n→+∞
f t n (v) = y .
Par continuité de F, on en déduit
a = lim
n→+∞
F(f t n (v)) = F(y)
(en particulier, |a| < ∞). Ceci prouve que L v (v) ⊂ { y ; F(y) = a }.
Proposition 7.17 Soit v ∈ E. Si l’ensemble {f t (v) ; t ∈ R
+
} est relativement
compact, alors L v (v) est compact non vide et connexe.
Démonstration. La compacité de L v (v) est quasi-immédiate : c’est un
fermé inclus dans le compact
{f t (v) ; t ∈ R + } .
Il est non vide puisque l’orbite {f t (v) ; t ∈ R
+
} admet au moins une
valeur d’adhérence. La connexité de L v (v) demande un peu plus de travail.
Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe deux ouverts disjoints
U 1 et U 2 tels que L v (v) ⊂ U 1 ∪ U 2 avec L v (v) ∩ U i = ∅. Par définition de
L v (v), il existe donc une suite (t n ) strictement croissante telle que f t 2n (v) ∈
U 2 , f t 2n+1 (v) ∈ U 1 . Comme l’ensemble { f t (v) ; t 2n ≤ t ≤ t 2n+1 } est
connexe (image d’un connexe par une application continue), il ne peut être
inclus dans U 1 ∪ U 2 . Donc pour tout n ∈ N, il existe t n ∈ ]t 2n , t 2n+1 [ tel
que f t n (v) /
∈ U 1 ∪ U 2 . Or la suite f t n (v) admet une valeur d’adhérence
a ∈ L v (v), et cette limite appartient au complémentaire de U 1 ∪ U 2 (car
c’est un fermé). Ceci contredit l’inclusion L v (v) ⊂ U 1 ∪ U 2 . C’est donc que
de tels ouverts U 1 et U 2 n’existent pas, ce qui montre que L v (v) est connexe.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit