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7 • Équations autonomes
–3
–2
–1
1
2
3
y
–10
–5
5
10
x
Figure 7.3 Portrait de phase pour l’équation (5.5) du pendule simple avec g// = 1.
7.3 ENSEMBLES v-LIMITE
Dans ce qui suit, f ∈ C
1 (E; E) (où E est un espace de Banach) est un champ complet
et f t désigne le flot de (7.1).
7.3.1 Généralités et exemples
Définition 7.15 Soit v ∈ E. On appelle ensemble v-limite de v l’ensemble L v (v)
des valeurs d’adhérence de {f t (v)} lorsque t → +∞. On appelle ensemble a-limite
de v l’ensemble L a (v) des valeurs d’adhérence de {f t (v)} lorsque t → −∞.
(Ces noms ont été choisis parce que a et v sont respectivement la première et la
dernière lettre de l’alphabet grec.)
• Par exemple, si v appartient à une orbite hétérocline, alors par définition il
existe v − et v + ∈ U tels que lim t→±∞ f t (v) = v ± , et donc L a (v) = {v − },
L v (v) = {v + }.
• Par ailleurs, si v appartient à un cycle g, alors L a (v) = L v (v) = g.
Proposition 7.16 Les ensembles v-limite et a-limite d’un point v sont fermés et
invariants par le flot. Ils sont de plus inclus dans l’ensemble de niveau { w ; E(w) =
E(v) } si E est une intégrale première. Plus généralement, si F : E → R est une
fonction continue et monotone le long des courbes intégrales, les ensembles v-limite
et a-limite sont inclus dans des ensembles de niveau de F.
Démonstration. Ces propriétés sont presque contenues dans la définition.
Si w ∈ L v (v), il existe une suite t n tendant vers +∞ telle que f t n (v) tend
vers w. Alors, quel que soit t, f t (w) = lim n→+∞ f t+t n (v) appartient aussi
à L v (v). Donc cet ensemble est bien invariant par le flot. D’autre part, le
7 • Équations autonomes
–3
–2
–1
1
2
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y
–10
–5
5
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x
Figure 7.3 Portrait de phase pour l’équation (5.5) du pendule simple avec g// = 1.
7.3 ENSEMBLES v-LIMITE
Dans ce qui suit, f ∈ C
1 (E; E) (où E est un espace de Banach) est un champ complet
et f t désigne le flot de (7.1).
7.3.1 Généralités et exemples
Définition 7.15 Soit v ∈ E. On appelle ensemble v-limite de v l’ensemble L v (v)
des valeurs d’adhérence de {f t (v)} lorsque t → +∞. On appelle ensemble a-limite
de v l’ensemble L a (v) des valeurs d’adhérence de {f t (v)} lorsque t → −∞.
(Ces noms ont été choisis parce que a et v sont respectivement la première et la
dernière lettre de l’alphabet grec.)
• Par exemple, si v appartient à une orbite hétérocline, alors par définition il
existe v − et v + ∈ U tels que lim t→±∞ f t (v) = v ± , et donc L a (v) = {v − },
L v (v) = {v + }.
• Par ailleurs, si v appartient à un cycle g, alors L a (v) = L v (v) = g.
Proposition 7.16 Les ensembles v-limite et a-limite d’un point v sont fermés et
invariants par le flot. Ils sont de plus inclus dans l’ensemble de niveau { w ; E(w) =
E(v) } si E est une intégrale première. Plus généralement, si F : E → R est une
fonction continue et monotone le long des courbes intégrales, les ensembles v-limite
et a-limite sont inclus dans des ensembles de niveau de F.
Démonstration. Ces propriétés sont presque contenues dans la définition.
Si w ∈ L v (v), il existe une suite t n tendant vers +∞ telle que f t n (v) tend
vers w. Alors, quel que soit t, f t (w) = lim n→+∞ f t+t n (v) appartient aussi
à L v (v). Donc cet ensemble est bien invariant par le flot. D’autre part, le