7.2 Flot et portraits de phase
233
f(x)
x
+
− 0 +
0 + 0 −
+
0
0
x
Figure 7.2 Tableau de variations et portrait de phase en dimension 1.
En dimension 1, c’est-à-dire pour une équation scalaire autonome d’ordre 1, le
portrait de phase repose exclusivement sur le tableau de variations de la fonction
f , voir la figure 7.2. (Rappelons au passage que l’on sait calculer les solutions par
quadrature.) En effet, les zéros de f sont des séparatrices, donc d’après le théorème des
bouts 5.7 toute orbite entre deux zéros est globale. De plus une telle orbite comprend
tout le segment ouvert entre ces zéros, car la seule limite finie possible d’une solution
en ±∞ est un point fixe (si u(t) → u ∗ lorsque t → +∞, u
(t) → f (u ∗ ) et donc
f (u ∗ ) = 0 sinon on aurait |u(t)| → +∞).
En dimension supérieure à 3 les portraits de phase sont difficiles à représenter et
d’une grande complexité en général. Le cas de la dimension 2 est à la fois riche et
pas trop compliqué (on en verra une raison profonde avec le théorème de Poincaré–
Bendixson). Prenons l’exemple de l’équation (5.5) pour le pendule simple. Sans
chercher à calculer les solutions, on peut tracer et interprétrer le portrait de phase,
grâce l’intégrale première
H (u, ˙
u) =
1
2
˙
u
2
− cos u .
Si l’on note E a := { (u, ˙
u) ; H (u, ˙
u) = a } les ensembles de niveau de H , on voit
que E −1 = ∪ n∈Z {(2pn, 0)}, tandis que pour −1 < a < 1, E a est une réunion de
courbes fermées disjointes, et pour a > 1, E a est formé de deux courbes disjointes et
symétriques par rapport à l’axe des u ; enfin E 1 est formé de deux courbes symétriques
qui s’intersectent sur l’axe des u aux points (p + 2pn, 0). On voit ainsi apparaître
tous les types de solutions possibles : point d’équilibre du pendule en bas (u = 2pn),
point d’équilibre en haut (u = p + 2pn), oscillations autour de l’équilibre du bas
(−1 < a < 1), rotations complètes (a > 1). Ces solutions sont périodiques car on a
négligé les phénomènes dissipatifs dans ce modèle simplifié, et donc l’amortissement
du mouvement au cours du temps (pour un modèle avec amortissement, voir par
exemple l’exercice 8.1). Le cas des orbites contenues dans E 1 n’est pas non plus très
réaliste : le mouvement du pendule partant initialement d’un point u 0 à une vitesse ˙
u 0
telle que
1
2
˙
u
2
0 = cos u 0 + 1
met un temps infini à atteindre le point d’équilibre du haut.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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f(x)
x
+
− 0 +
0 + 0 −
+
0
0
x
Figure 7.2 Tableau de variations et portrait de phase en dimension 1.
En dimension 1, c’est-à-dire pour une équation scalaire autonome d’ordre 1, le
portrait de phase repose exclusivement sur le tableau de variations de la fonction
f , voir la figure 7.2. (Rappelons au passage que l’on sait calculer les solutions par
quadrature.) En effet, les zéros de f sont des séparatrices, donc d’après le théorème des
bouts 5.7 toute orbite entre deux zéros est globale. De plus une telle orbite comprend
tout le segment ouvert entre ces zéros, car la seule limite finie possible d’une solution
en ±∞ est un point fixe (si u(t) → u ∗ lorsque t → +∞, u
(t) → f (u ∗ ) et donc
f (u ∗ ) = 0 sinon on aurait |u(t)| → +∞).
En dimension supérieure à 3 les portraits de phase sont difficiles à représenter et
d’une grande complexité en général. Le cas de la dimension 2 est à la fois riche et
pas trop compliqué (on en verra une raison profonde avec le théorème de Poincaré–
Bendixson). Prenons l’exemple de l’équation (5.5) pour le pendule simple. Sans
chercher à calculer les solutions, on peut tracer et interprétrer le portrait de phase,
grâce l’intégrale première
H (u, ˙
u) =
1
2
˙
u
2
− cos u .
Si l’on note E a := { (u, ˙
u) ; H (u, ˙
u) = a } les ensembles de niveau de H , on voit
que E −1 = ∪ n∈Z {(2pn, 0)}, tandis que pour −1 < a < 1, E a est une réunion de
courbes fermées disjointes, et pour a > 1, E a est formé de deux courbes disjointes et
symétriques par rapport à l’axe des u ; enfin E 1 est formé de deux courbes symétriques
qui s’intersectent sur l’axe des u aux points (p + 2pn, 0). On voit ainsi apparaître
tous les types de solutions possibles : point d’équilibre du pendule en bas (u = 2pn),
point d’équilibre en haut (u = p + 2pn), oscillations autour de l’équilibre du bas
(−1 < a < 1), rotations complètes (a > 1). Ces solutions sont périodiques car on a
négligé les phénomènes dissipatifs dans ce modèle simplifié, et donc l’amortissement
du mouvement au cours du temps (pour un modèle avec amortissement, voir par
exemple l’exercice 8.1). Le cas des orbites contenues dans E 1 n’est pas non plus très
réaliste : le mouvement du pendule partant initialement d’un point u 0 à une vitesse ˙
u 0
telle que
1
2
˙
u
2
0 = cos u 0 + 1
met un temps infini à atteindre le point d’équilibre du haut.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit