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7 • Équations autonomes
Théorème 7.13 Soit f un champ de vecteurs de classe C
1 sur un ouvert U d’un
espace vectoriel de dimension finie n. Si y ∈ U est un point non singulier pour
f , c’est-à-dire si f (y) = 0, alors il existe un voisinage B de y dans U et (n − 1)
intégrales premières indépendantes de classe C
1 sur B.
7.2.3 Portraits de phase
L’un des objectifs de l’analyse qualitative d’une EDO est de préciser son portrait de
phase, ce qui ne nécessite nullement de savoir la résoudre explicitement.
Définition 7.14 On appelle portrait de phases d’un champ de vecteurs f , ou de
l’équation différentielle (7.1), la partition de l’ouvert U en orbites.
L’étude d’un portrait de phase consiste à repérer :
i). en dimension finie tout au moins, les changements de direction du champ de
vecteurs, en localisant les zéros de ses composantes,
ii). les orbites remarquables,
iii). les séparatrices, hypersurfaces que les orbites ne peuvent traverser,
iv). les ensembles de niveau d’intégrales premières éventuelles.
La recherche d’orbites stationnaires, revient à résoudre l’équation algébrique f (v) =
0. On verra plus loin (Chapitre 8) comment trouver l’allure des orbites au voisinage des
points stationnaires (où précisément le théorème de redressement du flot ne s’applique
pas). La recherche de cycles et d’orbites homoclines ou hétéroclines est en général non
triviale. On verra plus loin quelques outils dans cette optique. Quant aux séparatrices,
le champ de vecteurs doit leur être tangent et elles doivent être invariantes par le flot.
En particulier en dimension 2, les orbites non stationnaires sont des séparatrices. Ou
bien par exemple pour un système de la forme
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dx
dt
= f (x, y) ,
dy
dt
= y g(x, y) ,
l’hyperplan P = {(x, y) ; y = 0} est invariant, c’est-à-dire que les orbites issues
de P sont incluses dans P (cela résulte une fois de plus du lemme d’unicité 5.6),
et c’est donc une séparatrice. Enfin on rappelle que si H est une intégrale première,
toute orbite est incluse dans un ensemble de niveau de H : en dimension finie n, si
l’on dispose de n − 1 intégrales premières indépendantes, les intersections de leurs
ensembles de niveaux sont génériquement des courbes, et l’on a ainsi le portrait de
phase complet.
7 • Équations autonomes
Théorème 7.13 Soit f un champ de vecteurs de classe C
1 sur un ouvert U d’un
espace vectoriel de dimension finie n. Si y ∈ U est un point non singulier pour
f , c’est-à-dire si f (y) = 0, alors il existe un voisinage B de y dans U et (n − 1)
intégrales premières indépendantes de classe C
1 sur B.
7.2.3 Portraits de phase
L’un des objectifs de l’analyse qualitative d’une EDO est de préciser son portrait de
phase, ce qui ne nécessite nullement de savoir la résoudre explicitement.
Définition 7.14 On appelle portrait de phases d’un champ de vecteurs f , ou de
l’équation différentielle (7.1), la partition de l’ouvert U en orbites.
L’étude d’un portrait de phase consiste à repérer :
i). en dimension finie tout au moins, les changements de direction du champ de
vecteurs, en localisant les zéros de ses composantes,
ii). les orbites remarquables,
iii). les séparatrices, hypersurfaces que les orbites ne peuvent traverser,
iv). les ensembles de niveau d’intégrales premières éventuelles.
La recherche d’orbites stationnaires, revient à résoudre l’équation algébrique f (v) =
0. On verra plus loin (Chapitre 8) comment trouver l’allure des orbites au voisinage des
points stationnaires (où précisément le théorème de redressement du flot ne s’applique
pas). La recherche de cycles et d’orbites homoclines ou hétéroclines est en général non
triviale. On verra plus loin quelques outils dans cette optique. Quant aux séparatrices,
le champ de vecteurs doit leur être tangent et elles doivent être invariantes par le flot.
En particulier en dimension 2, les orbites non stationnaires sont des séparatrices. Ou
bien par exemple pour un système de la forme
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dx
dt
= f (x, y) ,
dy
dt
= y g(x, y) ,
l’hyperplan P = {(x, y) ; y = 0} est invariant, c’est-à-dire que les orbites issues
de P sont incluses dans P (cela résulte une fois de plus du lemme d’unicité 5.6),
et c’est donc une séparatrice. Enfin on rappelle que si H est une intégrale première,
toute orbite est incluse dans un ensemble de niveau de H : en dimension finie n, si
l’on dispose de n − 1 intégrales premières indépendantes, les intersections de leurs
ensembles de niveaux sont génériquement des courbes, et l’on a ainsi le portrait de
phase complet.