7.2 Flot et portraits de phase
231
τ
τ
t
H
S
y+h
0
y
h
−
B
Figure 7.1 Redressement du flot et boîte à flot.
« élémentaire » (bien qu’il y ait derrière le théorème de Hahn-Banach), en
écrivant H = Ker w avec w ∈ E
tel que w( f (y)) = f (y)
2 , de sorte que
s f (y) + k = x ⇔ s =
w(x)
w( f (y))
, k = x −
w(x)
w( f (y))
f (y) .
Par conséquent, F est un difféomorphisme local, et donc un difféomorphisme de ] − t, t[×H r sur son image, quitte à réduire t et r .
Ceci implique que pour tout v ∈ B, il existe un unique (t, h) ∈] − t, t[×H r
tel que
f t (y + h) = v ,
d’où f −t (v) = y + h ∈ S r . Inversement, si s ∈] − t, t[ est tel que f s (v) =
y + h
∈ S r , alors v = f −s (y + h
) et donc s = −t et h = h
.
Remarque : Le difféomorphisme inverse F
−1 opère un redressement du flot
au sens où l’image réciproque d’une orbite { f t (v) ∈ B ; t ∈] − t, t[ } avec
v = y + h ∈ S r n’est autre que le segment de droite { (t, h) ; t ∈] − t, t[}
(voir la figure 7.1).
En particulier, si E est de dimension finie n, si l’on choisit une base (h 2 , . . . , h n ) de
H et si l’on note z 1 la première composante de F
−1 et z 2 , . . . , z n ses autres composantes, c’est-à-dire que pour tout w ∈ B
F
−1 (w) =
z 1 (w),
n
j=2
z j (w) h j
,
les fonctions z 2 , . . . , z n sont constantes le long des orbites de f . Autrement dit, les
fonctions z 2 , . . . , z n sont des intégrales premières du champ de vecteurs f dans B.
Elles sont de plus indépendantes, au sens où leurs différentielles sont indépendantes
en tout point de B, puisque F
−1 est un difféomorphisme sur B. D’où le
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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τ
τ
t
H
S
y+h
0
y
h
−
B
Figure 7.1 Redressement du flot et boîte à flot.
« élémentaire » (bien qu’il y ait derrière le théorème de Hahn-Banach), en
écrivant H = Ker w avec w ∈ E
tel que w( f (y)) = f (y)
2 , de sorte que
s f (y) + k = x ⇔ s =
w(x)
w( f (y))
, k = x −
w(x)
w( f (y))
f (y) .
Par conséquent, F est un difféomorphisme local, et donc un difféomorphisme de ] − t, t[×H r sur son image, quitte à réduire t et r .
Ceci implique que pour tout v ∈ B, il existe un unique (t, h) ∈] − t, t[×H r
tel que
f t (y + h) = v ,
d’où f −t (v) = y + h ∈ S r . Inversement, si s ∈] − t, t[ est tel que f s (v) =
y + h
∈ S r , alors v = f −s (y + h
) et donc s = −t et h = h
.
Remarque : Le difféomorphisme inverse F
−1 opère un redressement du flot
au sens où l’image réciproque d’une orbite { f t (v) ∈ B ; t ∈] − t, t[ } avec
v = y + h ∈ S r n’est autre que le segment de droite { (t, h) ; t ∈] − t, t[}
(voir la figure 7.1).
En particulier, si E est de dimension finie n, si l’on choisit une base (h 2 , . . . , h n ) de
H et si l’on note z 1 la première composante de F
−1 et z 2 , . . . , z n ses autres composantes, c’est-à-dire que pour tout w ∈ B
F
−1 (w) =
z 1 (w),
n
j=2
z j (w) h j
,
les fonctions z 2 , . . . , z n sont constantes le long des orbites de f . Autrement dit, les
fonctions z 2 , . . . , z n sont des intégrales premières du champ de vecteurs f dans B.
Elles sont de plus indépendantes, au sens où leurs différentielles sont indépendantes
en tout point de B, puisque F
−1 est un difféomorphisme sur B. D’où le
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit