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7 • Équations autonomes
[2, Corollaire I.3, p. 3]), il existe w ∈ E
non nul et tel que w, f (y)
= 0. Donc le
noyau de w est un hyperplan (vectoriel) fermé H tel que
R f (y) ⊕ H = E .
Tableau 7.1 Notions équivalentes dans différents registres de langage.
Analyse
Algèbre
Géométrie
Mécanique
solution
orbite
courbe intégrale
trajectoire
solution
point
point
point
stationnaire
fixe
singulier
d’équilibre
solution
cycle
lacet
≈ oscillation
périodique
simple
Par continuité de f , l’ensemble { u ∈ U ; f (u) /
∈ H } est ouvert. Donc il existe
r > 0 tel que pour tout u ∈ B(y; r ), f (u) /
∈ H . Par conséquent, l’intersection de
l’hyperplan affine y + H (dont l’espace tangent en tout point est précisément H ) avec
B(y; r ) est une section locale en y.
Théorème 7.12 (de redressement du flot) Si R f (y) ⊕ H = E, alors il existe t > 0
et r > 0 tels que S r := y + H r , avec H r := { h ∈ H ; h E < r }, soit une section
locale en y et l’application
F : ] − t, t[×H r → B := F(] − t, t[×H r )
(t, h)
→ f t (y + h) ,
soit un difféomorphisme. En outre, pour tout v ∈ B, il existe un unique t ∈] − t, t[
tel que f t (v) ∈ S r .
L’ouvert B est appelé une boîte à flot.
Démonstration. On a déjà vu la première partie. Il s’agit ensuite d’appliquer
le théorème d’inversion locale. La fonction F est de classe C
1 pour t et r
assez petits. De plus, la différentielle de F au point (0, 0) est donnée par
dF(0, 0) · (s, k) = s f (y) + k pour tout (s, k) ∈ R × H .
C’est une bijection de R × H sur E puisque R f (y) ⊕ H = E, et elle
est évidemment continue. Donc sa réciproque est aussi continue d’après
le théorème de l’application ouverte : on peut aussi le voir de façon plus
7 • Équations autonomes
[2, Corollaire I.3, p. 3]), il existe w ∈ E
non nul et tel que w, f (y)
= 0. Donc le
noyau de w est un hyperplan (vectoriel) fermé H tel que
R f (y) ⊕ H = E .
Tableau 7.1 Notions équivalentes dans différents registres de langage.
Analyse
Algèbre
Géométrie
Mécanique
solution
orbite
courbe intégrale
trajectoire
solution
point
point
point
stationnaire
fixe
singulier
d’équilibre
solution
cycle
lacet
≈ oscillation
périodique
simple
Par continuité de f , l’ensemble { u ∈ U ; f (u) /
∈ H } est ouvert. Donc il existe
r > 0 tel que pour tout u ∈ B(y; r ), f (u) /
∈ H . Par conséquent, l’intersection de
l’hyperplan affine y + H (dont l’espace tangent en tout point est précisément H ) avec
B(y; r ) est une section locale en y.
Théorème 7.12 (de redressement du flot) Si R f (y) ⊕ H = E, alors il existe t > 0
et r > 0 tels que S r := y + H r , avec H r := { h ∈ H ; h E < r }, soit une section
locale en y et l’application
F : ] − t, t[×H r → B := F(] − t, t[×H r )
(t, h)
→ f t (y + h) ,
soit un difféomorphisme. En outre, pour tout v ∈ B, il existe un unique t ∈] − t, t[
tel que f t (v) ∈ S r .
L’ouvert B est appelé une boîte à flot.
Démonstration. On a déjà vu la première partie. Il s’agit ensuite d’appliquer
le théorème d’inversion locale. La fonction F est de classe C
1 pour t et r
assez petits. De plus, la différentielle de F au point (0, 0) est donnée par
dF(0, 0) · (s, k) = s f (y) + k pour tout (s, k) ∈ R × H .
C’est une bijection de R × H sur E puisque R f (y) ⊕ H = E, et elle
est évidemment continue. Donc sa réciproque est aussi continue d’après
le théorème de l’application ouverte : on peut aussi le voir de façon plus