7.2 Flot et portraits de phase
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continuité de t → w( f (f t (v))) on a donc, dans un intervalle [0, h] avec
h > 0 assez petit, w( f (f t (v))) ≥ ´ > 0. Par suite,
w(f t (v) − v) =
t
0
w( f (f s (v))) ds ≥ t ´
pour t ∈ [0, h]. Donc f t (v) − v ne peut s’annuler dans [0, h] en dehors de
t = 0. Ceci montre que T est strictement positif. De plus T est atteint par
continuité de t → f t (v).
Avec cette définition de T , l’application t → f t (v) est injective sur [0, T [,
et l’orbite de v est la courbe fermée { f t (v) ; t ∈ [0, T [ }, qui est sans point
double car f t (v) = f s (v) implique f t−s (v) = v et donc t − s ≥ T si
t > s.
Définition 7.10 Pour un champ de vecteurs f de flot f on appelle :
• point stationnaire ou point fixe ou point d’équilibre un point v ∈ U dont l’orbite est
réduite à {v}, ce qui équivaut f (v) = 0 : on dit aussi que v est un point singulier
du champ de vecteurs f ;
• cycle une orbite { f t (v) ; t ∈ R} fermée, c’est-à-dire telle qu’il existe T > 0 pour
lequel f T (v) = v ;
• orbite hétérocline une courbe intégrale « reliant » deux points fixes différents :
{ f t (v) ; t ∈ R} ;
lim
t→−∞
f t (v) = a = b = lim
t→+∞
f t (v) , f (a) = f (b) = 0 ;
• orbite homocline une orbite reliant un même point fixe en +∞ et −∞ :
{ f t (v) ; t ∈ R} ;
lim
t→−∞
f t (v) = a = lim
t→+∞
f t (v) , f (a) = 0 .
Remarque : Au vocabulaire plutôt algébrique utilisé ici correspondent des
termes d’analyse, de géométrie et de mécanique, rassemblés dans le tableau
7.2.2.
7.2.2 Redressement du flot
Définition 7.11 On appelle section locale du champ f en un point non singulier y
(c’est-à-dire tel que f (y) = 0), un ouvert S d’une hypersurface contenant y tel que
pour tout u ∈ S, f (u) ∈ T u S (l’espace tangent à S au point u) : on dit aussi que f (u)
est transverse à T u S.
En particulier, il existe toujours des sections planes, c’est-à-dire incluses dans un
hyperplan affine. En effet, si f (y) = 0, d’après le théorème de Hahn-Banach (voir
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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continuité de t → w( f (f t (v))) on a donc, dans un intervalle [0, h] avec
h > 0 assez petit, w( f (f t (v))) ≥ ´ > 0. Par suite,
w(f t (v) − v) =
t
0
w( f (f s (v))) ds ≥ t ´
pour t ∈ [0, h]. Donc f t (v) − v ne peut s’annuler dans [0, h] en dehors de
t = 0. Ceci montre que T est strictement positif. De plus T est atteint par
continuité de t → f t (v).
Avec cette définition de T , l’application t → f t (v) est injective sur [0, T [,
et l’orbite de v est la courbe fermée { f t (v) ; t ∈ [0, T [ }, qui est sans point
double car f t (v) = f s (v) implique f t−s (v) = v et donc t − s ≥ T si
t > s.
Définition 7.10 Pour un champ de vecteurs f de flot f on appelle :
• point stationnaire ou point fixe ou point d’équilibre un point v ∈ U dont l’orbite est
réduite à {v}, ce qui équivaut f (v) = 0 : on dit aussi que v est un point singulier
du champ de vecteurs f ;
• cycle une orbite { f t (v) ; t ∈ R} fermée, c’est-à-dire telle qu’il existe T > 0 pour
lequel f T (v) = v ;
• orbite hétérocline une courbe intégrale « reliant » deux points fixes différents :
{ f t (v) ; t ∈ R} ;
lim
t→−∞
f t (v) = a = b = lim
t→+∞
f t (v) , f (a) = f (b) = 0 ;
• orbite homocline une orbite reliant un même point fixe en +∞ et −∞ :
{ f t (v) ; t ∈ R} ;
lim
t→−∞
f t (v) = a = lim
t→+∞
f t (v) , f (a) = 0 .
Remarque : Au vocabulaire plutôt algébrique utilisé ici correspondent des
termes d’analyse, de géométrie et de mécanique, rassemblés dans le tableau
7.2.2.
7.2.2 Redressement du flot
Définition 7.11 On appelle section locale du champ f en un point non singulier y
(c’est-à-dire tel que f (y) = 0), un ouvert S d’une hypersurface contenant y tel que
pour tout u ∈ S, f (u) ∈ T u S (l’espace tangent à S au point u) : on dit aussi que f (u)
est transverse à T u S.
En particulier, il existe toujours des sections planes, c’est-à-dire incluses dans un
hyperplan affine. En effet, si f (y) = 0, d’après le théorème de Hahn-Banach (voir
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit