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7 • Équations autonomes
quels que soient s et t. Cette structure algébrique justifie la définition suivante.
Définition 7.8 Pour tout v ∈ U on appelle orbite de v (pour l’équation différentielle
(7.1)) la courbe intégrale de f passant par v, c’est-à-dire l’ensemble
{ f t (v) ; t ∈ R} .
On rappelle que les courbes intégrales, et donc les orbites, sont deux à deux disjointes.
On note en particulier que si f admet une intégrale première H , toute orbite est
incluse dans un ensemble de niveau de H :
{ f t (v) ; t ∈ R} ⊂ {u ∈ U ; H (u) = H (v)} .
Proposition 7.9 L’orbite d’un point v est réduite au singleton {v} si seulement si
f (v) = 0. Sans nécessairement supposer le champ f complet, si f (v) = 0 et s’il
existe t 0 = s 0 tel que f t 0 (v) = f s 0 (v) alors t → f t (v) est une solution globale
périodique de (7.1) et l’orbite de v est une courbe fermée simple.
Démonstration. Supposons que f t (v) soit défini pour t ∈ [0, T [ avec 0 ≤
s 0 < t 0 < T < +∞. Soit m le plus grand entier tel que m (t 0 − s 0 ) < T .
L’application t → f t+t 0 −s 0 (v) est solution de l’équation différentielle et
vaut f t 0 (v) = f s 0 (v) en t = s 0 . En utilisant une fois de plus l’unicité des
solutions, on en déduit
f t+t 0 −s 0 (v) = f t (v) pour tout t ∈ [0, T − (t 0 − s 0 )[ .
En particulier, f m(t 0 −s 0 ) (v) = f 0 (v) = v. Par conséquent, l’application u
définie par
u(t) = f t−m(t 0 −s 0 ) (v) pour t ∈ [ m(t 0 − s 0 ) , (m + 1)(t 0 − s 0 ) ]
est solution du problème de Cauchy :
u
(t) = f (u(t)) , u(m(t 0 − s 0 )) = v ,
et prolonge t → f t (v) au delà de T . C’est donc que f t peut être prolongée
à tout R. Et elle est périodique de période (t 0 − s 0 ).
L’ensemble {t > 0 ; f t (v) = v} contient en particulier t 0 − s 0 . On peut
donc définir
T := inf{t > 0 ; f t (v) = v} .
Si v n’est pas un point fixe, T est strictement positif. En effet, il existe
w ∈ E
tel que w( f (v)) = 0. Supposons par exemple w( f (v)) > 0. Par
7 • Équations autonomes
quels que soient s et t. Cette structure algébrique justifie la définition suivante.
Définition 7.8 Pour tout v ∈ U on appelle orbite de v (pour l’équation différentielle
(7.1)) la courbe intégrale de f passant par v, c’est-à-dire l’ensemble
{ f t (v) ; t ∈ R} .
On rappelle que les courbes intégrales, et donc les orbites, sont deux à deux disjointes.
On note en particulier que si f admet une intégrale première H , toute orbite est
incluse dans un ensemble de niveau de H :
{ f t (v) ; t ∈ R} ⊂ {u ∈ U ; H (u) = H (v)} .
Proposition 7.9 L’orbite d’un point v est réduite au singleton {v} si seulement si
f (v) = 0. Sans nécessairement supposer le champ f complet, si f (v) = 0 et s’il
existe t 0 = s 0 tel que f t 0 (v) = f s 0 (v) alors t → f t (v) est une solution globale
périodique de (7.1) et l’orbite de v est une courbe fermée simple.
Démonstration. Supposons que f t (v) soit défini pour t ∈ [0, T [ avec 0 ≤
s 0 < t 0 < T < +∞. Soit m le plus grand entier tel que m (t 0 − s 0 ) < T .
L’application t → f t+t 0 −s 0 (v) est solution de l’équation différentielle et
vaut f t 0 (v) = f s 0 (v) en t = s 0 . En utilisant une fois de plus l’unicité des
solutions, on en déduit
f t+t 0 −s 0 (v) = f t (v) pour tout t ∈ [0, T − (t 0 − s 0 )[ .
En particulier, f m(t 0 −s 0 ) (v) = f 0 (v) = v. Par conséquent, l’application u
définie par
u(t) = f t−m(t 0 −s 0 ) (v) pour t ∈ [ m(t 0 − s 0 ) , (m + 1)(t 0 − s 0 ) ]
est solution du problème de Cauchy :
u
(t) = f (u(t)) , u(m(t 0 − s 0 )) = v ,
et prolonge t → f t (v) au delà de T . C’est donc que f t peut être prolongée
à tout R. Et elle est périodique de période (t 0 − s 0 ).
L’ensemble {t > 0 ; f t (v) = v} contient en particulier t 0 − s 0 . On peut
donc définir
T := inf{t > 0 ; f t (v) = v} .
Si v n’est pas un point fixe, T est strictement positif. En effet, il existe
w ∈ E
tel que w( f (v)) = 0. Supposons par exemple w( f (v)) > 0. Par