7.2 Flot et portraits de phase
227
première de r j est appelée j-invariant de Riemann faible. Pour i ∈ {1, . . . , n}, on
appelle champ de vecteurs propre à gauche pour A une application i à valeurs dans
les matrices lignes 1 × n non nulles telle que i (u)A(u) = l i (u) i (u) pour tout u ∈ U .
Naturellement, i (u) s’identifie avec une forme linéaire sur R
n , et l’on peut donc voir
i comme une 1-forme différentielle. Sous la condition d’intégrabilité i ∧ d i ≡ 0
donnée par le théorème de Frobenius (théorème 4.15), il existe donc des fonctions u et
f telles que i = udf. Il s’avère que la fonction f est alors un j-invariant de Riemann
faible pour tout j
= i. En effet, u ne peut pas s’annuler puisque i est un champ de
vecteurs propres, et l’on a i (u)r j (u) = 0 pour tout u et pour tout j
= i (noter que
i (u)A i (u)r j (u) = l i (u) i (u)r j (u) = l j (u) i (u)r j (u) avec l i (u) = l j (u)). On dit
que f est un i-invariant de Riemann fort.
Signalons en outre que la théorie des EDP hyperboliques fait appel à la théorie
des EDO au travers de la méthode des caractéristiques, de la recherche de solutions
autosimilaires, de la condition de Rankine-Hugoniot régissant les ondes de choc (voir
par exemple [26]).
7.2 FLOT ET PORTRAITS DE PHASE
D’après le théorème du flot (théorème 5.13), pour tout t 0 ∈ I il existe localement une
application f
t 0 : (t, v) → f
t 0 (t, v) donnant la solution du problème de Cauchy associé
à (7.1) pour la donnée initiale f
t 0 (t 0 , v) = v. En fait, comme (7.1) est autonome,
les flots locaux f
t 0 et f
t 1 pris en des instants t 0 et t 1 se déduisent l’un de l’autre par
translation en t. En effet, les applications t → f
t 0 (t, v) et t → f
t 1 (t + t 1 − t 0 , v) sont
deux solutions de (7.1), et elles prennent la même valeur v en t = t 0 , donc elles sont
égales d’après le lemme d’unicité 5.6.
C’est pourquoi on fixe t 0 = 0 une fois pour toutes. Par ailleurs, on utilisera désormais une notation pour le flot qui distingue t (en indice) de v :
f t (v) = f
0 (t, v) .
7.2.1 Orbites
Sauf mention du contraire on suppose désormais le champ de vecteurs f complet (ce
qui n’est pas une restriction si f : R
n
→ R
n comme on l’a vu en remarque p. 224).
Alors le flot est global, c’est-à-dire que pour tout v ∈ U , l’application t → f t (v) est
définie sur R tout entier. De plus, l’ensemble
{ f t ∈ C
1 (U ; U ) ; t ∈ R }
muni de la loi de composition ◦ est un groupe commutatif. En effet, il contient Id U =
f 0 et en utilisant à nouveau l’unicité des solutions (lemme 5.6) on montre que
f s ◦ f t = f t ◦ f s = f t+s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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première de r j est appelée j-invariant de Riemann faible. Pour i ∈ {1, . . . , n}, on
appelle champ de vecteurs propre à gauche pour A une application i à valeurs dans
les matrices lignes 1 × n non nulles telle que i (u)A(u) = l i (u) i (u) pour tout u ∈ U .
Naturellement, i (u) s’identifie avec une forme linéaire sur R
n , et l’on peut donc voir
i comme une 1-forme différentielle. Sous la condition d’intégrabilité i ∧ d i ≡ 0
donnée par le théorème de Frobenius (théorème 4.15), il existe donc des fonctions u et
f telles que i = udf. Il s’avère que la fonction f est alors un j-invariant de Riemann
faible pour tout j
= i. En effet, u ne peut pas s’annuler puisque i est un champ de
vecteurs propres, et l’on a i (u)r j (u) = 0 pour tout u et pour tout j
= i (noter que
i (u)A i (u)r j (u) = l i (u) i (u)r j (u) = l j (u) i (u)r j (u) avec l i (u) = l j (u)). On dit
que f est un i-invariant de Riemann fort.
Signalons en outre que la théorie des EDP hyperboliques fait appel à la théorie
des EDO au travers de la méthode des caractéristiques, de la recherche de solutions
autosimilaires, de la condition de Rankine-Hugoniot régissant les ondes de choc (voir
par exemple [26]).
7.2 FLOT ET PORTRAITS DE PHASE
D’après le théorème du flot (théorème 5.13), pour tout t 0 ∈ I il existe localement une
application f
t 0 : (t, v) → f
t 0 (t, v) donnant la solution du problème de Cauchy associé
à (7.1) pour la donnée initiale f
t 0 (t 0 , v) = v. En fait, comme (7.1) est autonome,
les flots locaux f
t 0 et f
t 1 pris en des instants t 0 et t 1 se déduisent l’un de l’autre par
translation en t. En effet, les applications t → f
t 0 (t, v) et t → f
t 1 (t + t 1 − t 0 , v) sont
deux solutions de (7.1), et elles prennent la même valeur v en t = t 0 , donc elles sont
égales d’après le lemme d’unicité 5.6.
C’est pourquoi on fixe t 0 = 0 une fois pour toutes. Par ailleurs, on utilisera désormais une notation pour le flot qui distingue t (en indice) de v :
f t (v) = f
0 (t, v) .
7.2.1 Orbites
Sauf mention du contraire on suppose désormais le champ de vecteurs f complet (ce
qui n’est pas une restriction si f : R
n
→ R
n comme on l’a vu en remarque p. 224).
Alors le flot est global, c’est-à-dire que pour tout v ∈ U , l’application t → f t (v) est
définie sur R tout entier. De plus, l’ensemble
{ f t ∈ C
1 (U ; U ) ; t ∈ R }
muni de la loi de composition ◦ est un groupe commutatif. En effet, il contient Id U =
f 0 et en utilisant à nouveau l’unicité des solutions (lemme 5.6) on montre que
f s ◦ f t = f t ◦ f s = f t+s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit