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7 • Équations autonomes
7.1.2 Intégrales premières
Définition 7.7 On appelle intégrale première d’un champ de vecteurs f sur U (ou
indifféremment de l’équation différentielle (7.1)) une fonction H ∈ C
1 (U , R) telle que
dH (u) · f (u) = 0 quel que soit u ∈ U .
Par la formule de dérivation des fonctions composées, si H est une intégrale première de (7.1), alors pour toute solution u ∈ C
1 (J ; U ) la fonction H ◦ u est indépendante de t : autrement dit la fonction H est constante le long des courbes intégrales de
f . Inversement, si H est constante le long de toute courbe intégrale, c’est une intégrale
première. Soit en effet (t 0 , u 0 ) ∈ R × U , et u ∈ C
1 (J ; U ) la solution maximale de
(7.1) telle que u(t 0 ) = u 0 . On a pour tout t ∈ J , H (u(t)) = H (u 0 ), d’où en dérivant,
dH (u(t)) · f (u(t)) = 0 .
En particulier en t = t 0 cela donne dH (u 0 ) · f (u 0 ) = 0. En général c’est de cette
manière que l’on cherche une intégrale première (on cherche une quantité conservée le
long des courbes intégrales), plutôt que d’essayer de résoudre l’équation dH · f ≡ 0
dans U (qui est une équation aux dérivées partielles si E = R
n ).
La connaissance d’intégrales premières est cruciale pour espérer résoudre explicitement l’équation différentielle, et quoi qu’il en soit une intégrale première est un outil
précieux dans l’analyse qualitative. On verra plus loin un résultat abstrait (théorème
7.13) d’existence d’intégrale première pour un champ non singulier (c’est-à-dire ne
s’annulant pas). Il n’existe pas de méthode générale pour trouver des intégrales premières (sinon toutes les équations différentielles seraient résolubles explicitement).
Cependant on peut faire appel à l’« intuition physique » : lorsque l’équation différentielle provient d’un modèle physique, il y a souvent (en l’absence de phénomènes
dissipatifs) une intégrale première correspondant à une énergie : comme vu plus haut,
c’est le cas par exemple pour l’équation (5.3).
7.1.3 Complément : incursion dans l’analyse des EDP hyperboliques
Une équation aux dérivées partielles (EDP) de la forme
∂ t u + A(u)∂ x u = 0 ,
où la fonction inconnue est u : (t, x) ∈ R
+
× R → u(t, x) ∈ R
n et A ∈ C(U ; M n (R)),
est dite strictement hyperbolique (au sens des EDP) si pour tout u ∈ U , A(u) est
diagonalisable sur R, avec des valeurs propres distinctes l 1 (u) < · · · l n (u). Dans
l’analyse de cette EDP interviennent alors des champs de vecteurs particuliers : ce
sont les champs de vecteurs propres r j associés aux valeurs propres l j (c’est-à-dire que
pour tout u ∈ U , A(u)r j (u) = l j (u)r j (u)). Pour tout j ∈ {1, . . . , n}, une intégrale
7 • Équations autonomes
7.1.2 Intégrales premières
Définition 7.7 On appelle intégrale première d’un champ de vecteurs f sur U (ou
indifféremment de l’équation différentielle (7.1)) une fonction H ∈ C
1 (U , R) telle que
dH (u) · f (u) = 0 quel que soit u ∈ U .
Par la formule de dérivation des fonctions composées, si H est une intégrale première de (7.1), alors pour toute solution u ∈ C
1 (J ; U ) la fonction H ◦ u est indépendante de t : autrement dit la fonction H est constante le long des courbes intégrales de
f . Inversement, si H est constante le long de toute courbe intégrale, c’est une intégrale
première. Soit en effet (t 0 , u 0 ) ∈ R × U , et u ∈ C
1 (J ; U ) la solution maximale de
(7.1) telle que u(t 0 ) = u 0 . On a pour tout t ∈ J , H (u(t)) = H (u 0 ), d’où en dérivant,
dH (u(t)) · f (u(t)) = 0 .
En particulier en t = t 0 cela donne dH (u 0 ) · f (u 0 ) = 0. En général c’est de cette
manière que l’on cherche une intégrale première (on cherche une quantité conservée le
long des courbes intégrales), plutôt que d’essayer de résoudre l’équation dH · f ≡ 0
dans U (qui est une équation aux dérivées partielles si E = R
n ).
La connaissance d’intégrales premières est cruciale pour espérer résoudre explicitement l’équation différentielle, et quoi qu’il en soit une intégrale première est un outil
précieux dans l’analyse qualitative. On verra plus loin un résultat abstrait (théorème
7.13) d’existence d’intégrale première pour un champ non singulier (c’est-à-dire ne
s’annulant pas). Il n’existe pas de méthode générale pour trouver des intégrales premières (sinon toutes les équations différentielles seraient résolubles explicitement).
Cependant on peut faire appel à l’« intuition physique » : lorsque l’équation différentielle provient d’un modèle physique, il y a souvent (en l’absence de phénomènes
dissipatifs) une intégrale première correspondant à une énergie : comme vu plus haut,
c’est le cas par exemple pour l’équation (5.3).
7.1.3 Complément : incursion dans l’analyse des EDP hyperboliques
Une équation aux dérivées partielles (EDP) de la forme
∂ t u + A(u)∂ x u = 0 ,
où la fonction inconnue est u : (t, x) ∈ R
+
× R → u(t, x) ∈ R
n et A ∈ C(U ; M n (R)),
est dite strictement hyperbolique (au sens des EDP) si pour tout u ∈ U , A(u) est
diagonalisable sur R, avec des valeurs propres distinctes l 1 (u) < · · · l n (u). Dans
l’analyse de cette EDP interviennent alors des champs de vecteurs particuliers : ce
sont les champs de vecteurs propres r j associés aux valeurs propres l j (c’est-à-dire que
pour tout u ∈ U , A(u)r j (u) = l j (u)r j (u)). Pour tout j ∈ {1, . . . , n}, une intégrale