7.1 Courbes intégrales
225
où w : R
+
→ R est une fonction continue telle que w(0) < r , alors ou bien w(t) < r
quel que soit t ∈ R
+ et dans ce cas J n’est pas majoré, ou bien sup J ≥ min{t >
0 ; w(t) = r }.
Démonstration. D’après le lemme 5.8, il existe t > 0 tel que pour tout
v ∈ B(u ∗ ; r ), la solution de (7.1) pour la donnée initiale v est définie sur
un intervalle contenant [0, t]. Supposons J majoré et notons b = sup J .
Alors nécessairement il existe t > 0 tel que w(t) = r . Sinon (par le théorème
des valeurs intermédiaires) on aurait w(t) < r quel que soit t > 0, et par
conséquent u(b − t/2) ∈ B(u ∗ ; r ), donc la solution u serait prolongeable
à t ∈ [b, b + t/2]. Si l’on note t r = min{t > 0 ; w(t) = r }, on a donc
u(t) − u ∗ < r quel que soit t ∈ [0, t r [∩J . Si on avait b < t r , par le
même argument que précédemment on pourrait prolonger u à [b, b + t/2].
En pratique, la majoration de u(t) − u ∗ par w(t) est souvent conditionnée par
la majoration (moins forte) par r , ce qui ne permet pas d’appliquer directement le
théorème précédent. Un moyen de contourner la difficulté est donné par la
Proposition 7.6 Soient b > 0, r > 0 et z, w deux fonctions continues sur [0, b[ telles
que
i). z(0) < r
ii). pour tout t ∈ [0, b[, w(t) < r,
iii). l’assertion suivante est vraie : si t ∈]0, b[ est tel que z(s) < r pour tout s ∈ [0, t]
alors z(s) ≤ w(s) pour tout s ∈ [0, t].
Alors on a z(t) ≤ w(t) pour tout t ∈ [0, b[.
Démonstration. La démonstration est le prototype de ce que l’on appelle
un argument de « bootstrap » (voir aussi la proposition 8.25 de l’appendice).
Elle repose essentiellement sur la connexité de l’intervalle [0, b[. Soit en
effet
A := {t ∈ [0, b[ ; z(s) ≤ w(s) , ∀s ∈ [0, t]} .
D’après i) et la continuité de z, il existe t 0 ∈]0, b[ tel que z(s) < r pour tout
s ∈ [0, t 0 ], et donc t 0 ∈ A d’après iii). De plus A est fermé par continuité
de w − z. Enfin A est ouvert : si t ∈ A alors d’après ii), z(s) ≤ w(s) < r
pour tout s ∈ [0, t], donc par continuité de w il existe ´ ∈]0, b − t[ tel que
pour tout s ∈ [0, t + ´], z(s) < r ; donc d’après iii), z(s) ≤ w(s) pour tout
s ∈ [0, t + ´] et par conséquent [0, t + ´] ⊂ A. Donc par connexité de [0, b[
on a A = [0, b[.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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où w : R
+
→ R est une fonction continue telle que w(0) < r , alors ou bien w(t) < r
quel que soit t ∈ R
+ et dans ce cas J n’est pas majoré, ou bien sup J ≥ min{t >
0 ; w(t) = r }.
Démonstration. D’après le lemme 5.8, il existe t > 0 tel que pour tout
v ∈ B(u ∗ ; r ), la solution de (7.1) pour la donnée initiale v est définie sur
un intervalle contenant [0, t]. Supposons J majoré et notons b = sup J .
Alors nécessairement il existe t > 0 tel que w(t) = r . Sinon (par le théorème
des valeurs intermédiaires) on aurait w(t) < r quel que soit t > 0, et par
conséquent u(b − t/2) ∈ B(u ∗ ; r ), donc la solution u serait prolongeable
à t ∈ [b, b + t/2]. Si l’on note t r = min{t > 0 ; w(t) = r }, on a donc
u(t) − u ∗ < r quel que soit t ∈ [0, t r [∩J . Si on avait b < t r , par le
même argument que précédemment on pourrait prolonger u à [b, b + t/2].
En pratique, la majoration de u(t) − u ∗ par w(t) est souvent conditionnée par
la majoration (moins forte) par r , ce qui ne permet pas d’appliquer directement le
théorème précédent. Un moyen de contourner la difficulté est donné par la
Proposition 7.6 Soient b > 0, r > 0 et z, w deux fonctions continues sur [0, b[ telles
que
i). z(0) < r
ii). pour tout t ∈ [0, b[, w(t) < r,
iii). l’assertion suivante est vraie : si t ∈]0, b[ est tel que z(s) < r pour tout s ∈ [0, t]
alors z(s) ≤ w(s) pour tout s ∈ [0, t].
Alors on a z(t) ≤ w(t) pour tout t ∈ [0, b[.
Démonstration. La démonstration est le prototype de ce que l’on appelle
un argument de « bootstrap » (voir aussi la proposition 8.25 de l’appendice).
Elle repose essentiellement sur la connexité de l’intervalle [0, b[. Soit en
effet
A := {t ∈ [0, b[ ; z(s) ≤ w(s) , ∀s ∈ [0, t]} .
D’après i) et la continuité de z, il existe t 0 ∈]0, b[ tel que z(s) < r pour tout
s ∈ [0, t 0 ], et donc t 0 ∈ A d’après iii). De plus A est fermé par continuité
de w − z. Enfin A est ouvert : si t ∈ A alors d’après ii), z(s) ≤ w(s) < r
pour tout s ∈ [0, t], donc par continuité de w il existe ´ ∈]0, b − t[ tel que
pour tout s ∈ [0, t + ´], z(s) < r ; donc d’après iii), z(s) ≤ w(s) pour tout
s ∈ [0, t + ´] et par conséquent [0, t + ´] ⊂ A. Donc par connexité de [0, b[
on a A = [0, b[.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit