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7 • Équations autonomes
K J × [a, b]. Comme u reste dans K J , c’est que t sort de l’intervalle [a, b]
et donc de J ; ce qui est absurde puisque t = s ∈ J .
Donc l’une au moins des bornes de J est infinie. Et en fait les deux le sont.
On s’en convainc en reprenant la démonstration du théorème des bouts :
si l’on avait par exemple J = ] − ∞, b[ avec b < +∞, alors, pour tout
g < b, la solution (u, t) ∈ C
1 (]g, b[) du système augmenté devrait sortir du
compact K ]g,b[ × [g, b] lorsque s b, ce qui est impossible.
En dimension finie, vérifier les hypothèses de ce théorème revient à trouver des
estimations a priori, c’est-à-dire une majoration des solutions sur les intervalles bornés.
➤ Exemple
Le champ de vecteurs de la mécanique du point f : (x, v) ∈ R
n
× R
n
→
(v, −gradV (x)) est complet pourvu que V soit une fonction positive.
En effet, on remarque que
H (x, v) :=
1
2
v
2 + V (x)
est conservée le long des courbes intégrales (on dit que H est une intégrale première,
voir la définition 7.7 ci-après). Si de plus V est positive, pour toute solution t →
(x(t), v(t)) de l’équation de Newton (5.3) associée au potentiel V , on a v(t) = x
(t),
d’où x(t) = x(0) +
t
0
v(s) ds, et
1
2
v(s)
2
≤ H (x(s), v(s)) = H (x(0), v(0)) ,
donc x(t) ≤ ≤x(0) + T
√
2 H (x(0), v(0)) pour t ∈] − T , T [. Ainsi la restriction
de (x, v) à tout intervalle borné est à valeurs dans un ensemble fermé borné de R
2n .
Donc on peut appliquer le théorème 7.4.
Remarque : Pour un champ de vecteurs f ∈ C
1 (R
n ), il existe l ∈ C
1 (R
n ; R
+∗ )
tel que g := l f soit complet. En effet, il suffit de poser l(u) := 1/(1 +
f (u)
2 ) car alors g = l f ∈ C
1 (R
n ; R
n ) est borné, ce qui suffit pour appliquer le théorème 7.4 dans U = R
n au champ de vecteurs g. Donc d’après la
proposition 7.2, on peut toujours supposer f complet pour l’étude des courbes
intégrales.
En dimension infinie, le théorème 7.4 s’applique difficilement, les compacts n’étant
pas simplement les fermés bornés. Cependant, on peut avoir recours au résultat local
suivant.
Théorème 7.5 Soient f ∈ C
1 (U ; E) et u ∗ ∈ U . On suppose que f est bornée dans
la boule B(u ∗ ; 2r ), r > 0. Si u ∈ C(J ; U ) est une solution maximale de (7.1) telle que
u(t) − u ∗ ≤ w(t) , pour tout t ∈ J ,
7 • Équations autonomes
K J × [a, b]. Comme u reste dans K J , c’est que t sort de l’intervalle [a, b]
et donc de J ; ce qui est absurde puisque t = s ∈ J .
Donc l’une au moins des bornes de J est infinie. Et en fait les deux le sont.
On s’en convainc en reprenant la démonstration du théorème des bouts :
si l’on avait par exemple J = ] − ∞, b[ avec b < +∞, alors, pour tout
g < b, la solution (u, t) ∈ C
1 (]g, b[) du système augmenté devrait sortir du
compact K ]g,b[ × [g, b] lorsque s b, ce qui est impossible.
En dimension finie, vérifier les hypothèses de ce théorème revient à trouver des
estimations a priori, c’est-à-dire une majoration des solutions sur les intervalles bornés.
➤ Exemple
Le champ de vecteurs de la mécanique du point f : (x, v) ∈ R
n
× R
n
→
(v, −gradV (x)) est complet pourvu que V soit une fonction positive.
En effet, on remarque que
H (x, v) :=
1
2
v
2 + V (x)
est conservée le long des courbes intégrales (on dit que H est une intégrale première,
voir la définition 7.7 ci-après). Si de plus V est positive, pour toute solution t →
(x(t), v(t)) de l’équation de Newton (5.3) associée au potentiel V , on a v(t) = x
(t),
d’où x(t) = x(0) +
t
0
v(s) ds, et
1
2
v(s)
2
≤ H (x(s), v(s)) = H (x(0), v(0)) ,
donc x(t) ≤ ≤x(0) + T
√
2 H (x(0), v(0)) pour t ∈] − T , T [. Ainsi la restriction
de (x, v) à tout intervalle borné est à valeurs dans un ensemble fermé borné de R
2n .
Donc on peut appliquer le théorème 7.4.
Remarque : Pour un champ de vecteurs f ∈ C
1 (R
n ), il existe l ∈ C
1 (R
n ; R
+∗ )
tel que g := l f soit complet. En effet, il suffit de poser l(u) := 1/(1 +
f (u)
2 ) car alors g = l f ∈ C
1 (R
n ; R
n ) est borné, ce qui suffit pour appliquer le théorème 7.4 dans U = R
n au champ de vecteurs g. Donc d’après la
proposition 7.2, on peut toujours supposer f complet pour l’étude des courbes
intégrales.
En dimension infinie, le théorème 7.4 s’applique difficilement, les compacts n’étant
pas simplement les fermés bornés. Cependant, on peut avoir recours au résultat local
suivant.
Théorème 7.5 Soient f ∈ C
1 (U ; E) et u ∗ ∈ U . On suppose que f est bornée dans
la boule B(u ∗ ; 2r ), r > 0. Si u ∈ C(J ; U ) est une solution maximale de (7.1) telle que
u(t) − u ∗ ≤ w(t) , pour tout t ∈ J ,