7.1 Courbes intégrales
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On peut ainsi prolonger T à ]s − , s + + h] avec
h =
t + +´
t +
dt
l(U (t))
> 0 .
Alors U ◦ T est solution du même problème de Cauchy que u sur l’intervalle
]s − , s + + h], contenant strictement ]s − , s + [. Ceci contredit le fait que u soit
maximale. C’est donc que U est aussi une solution maximale (pour le champ
f ). Par conséquent, la courbe intégrale de l f :
{ u(s) ; s ∈]s − , s + [ }
coïncide avec la courbe intégrale de f : { U (t) ; t ∈]t − , t + [ }
7.1.1 Champs complets
Définition 7.3 Un champ de vecteurs f est dit complet si toutes les solutions maximales de (7.1) sont globales, c’est-à-dire définies sur R tout entier.
Attention, la régularité d’un champ de vecteurs n’a rien à voir avec le fait qu’il soit
complet ou non, comme le montre l’exemple de l’équation de Riccati (voir l’exercice 5.5). Pour démontrer qu’un champ de vecteurs est complet on peut en revanche
chercher à appliquer le résultat suivant.
Théorème 7.4 Supposons que pour tout intervalle ouvert borné J , toute solution
u ∈ C
1 (J ; U ) de (7.1) soit à valeurs dans un compact K J de U . Alors le champ de
vecteurs f est complet.
Démonstration. C’est une conséquence du théorème des bouts (théorème
5.7), un peu subtile car le compact K J peut a priori dépendre dangereusement du diamètre de J . En fait, on va appliquer le théorème des bouts à un
système (équivalent) augmenté.
Soit u ∈ C(J ; U ) une solution maximale de (7.1) Alors l’application s ∈
J → (u, t) = (u(s), s) est une solution maximale du système augmenté :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
du
ds
= f (u) ,
dt
ds
= 1 .
Supposons que b = sup J et a = inf J soient finis. D’après le théorème
5.7, la solution maximale (u, t) du système augmenté doit sortir du compact
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