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7 • Équations autonomes
7.1 COURBES INTÉGRALES
Définition 7.1 Les trajectoires des solutions maximales de (7.1), c’est-à-dire les
courbes dans E de la forme { u(t) ; t ∈ J } où u ∈ C
1 (J ; U ) est une solution
maximale de (7.1), sont appelées courbes intégrales du champ de vecteurs f .
Il est important de noter que, d’après la partie unicité du théorème de CauchyLipschitz (théorème 5.5 et lemme 5.6), les courbes intégrales d’un champ de vecteurs
sont deux à deux disjointes.
Par définition, en tout point u(t) d’une courbe intégrale, le vecteur f (u(t)) = u
(t)
est tangent à u(t). En outre, il s’avère que les courbes intégrales dépendent seulement
de la direction du champ de vecteurs : comme le montre le résultat suivant, la norme
du vecteur f (u 0 ) n’a pas d’influence sur la courbe intégrale de f passant par le point
u 0 .
Proposition 7.2 Soit l ∈ C
1 (U ; R
+∗ ). Quel que soit u 0 ∈ U , la courbe intégrale de
f passant par u 0 coïncide avec la courbe intégrale de l f passant par u 0 .
Démonstration. C’est une question de changement de paramétrage. Soit
u ∈ C
1 (]s − , s + [) la solution maximale de
u
(s) = l(u(s)) f (u(s)) , u(0) = u 0 .
Soit alors
T (s) =
s
0
l(u(s)) ds ,
qui est une fonction strictement croissante de s par hypothèse sur l (l > 0),
et soit S la fonction réciproque de T , définie sur
]t − , t + [ , où t ± :=
s ±
0
l(u(s)) ds .
On a
d
dt
u(S(t)) = u
(S(t))
dS
dt
=
l(u(S(t))) f (u(S(t)))
1
l(u(S(t)))
= f (u(S(t)))
et u(S(0)) = u(0) = u 0 . Donc U = u ◦ S est solution du problème de
Cauchy :
U
(t) = f (U (t)) , U (0) = u 0 .
De plus, U est maximale. Supposons en effet que l’on puisse prolonger U à
]t − , t + + ´], ´ > 0. Prolongeons alors S à ]t − , t + + ´] par
S(t) =
t
0
dt
l(U (t))
.