Chapitre 7
Équations autonomes
On revient désormais à des équations non-linéaires autonomes, c’est-à-dire de la forme
du
dt
= f (u) .
(7.1)
où f est une fonction de classe C
1 sur un ouvert U d’un espace de Banach E dans
E. Comme on l’a observé plus haut (voir la remarque p. 143), quitte à considérer une
équation augmentée, on peut toujours se ramener du point de vue théorique à une
équation autonome. Cependant, même en dimension finie, il n’y a aucune méthode
générale pour calculer les solutions de (7.1) lorsque f est arbitraire. C’est pourquoi ce
chapitre aborde l’analyse qualitative de (7.1), essentielle dans les applications. Citons
pour s’en convaincre l’excellent article de C.K.R.T. Jones [17] en 2001 : « It will be
a significant challenge to us, as mathematicians, in the immediate future to convince
applied scientists and engineers to shed their perceived psychological security found
in generating explicit solutions. The replacement by the companion approaches of
computational solutions, and a (global) qualitative analysis of the behavior of the
system supply the same level of information and this latter approach is much more
widely applicable. » L’approche qualitative n’est pourtant pas récente puisqu’elle
trouve ses origines dans les travaux de Poincaré à la fin du XIXème siècle (et a conduit
au développement de la théorie des systèmes dynamiques en géométrie). Elle consiste,
au lieu de s’intéresser à la solution de (7.1) pour une donnée initiale fixée, à considérer
les courbes décrites par les solutions de (7.1) dans leur ensemble. L’objet central
d’étude devient géométrique : c’est la fonction f vue comme un champ de vecteurs
dans E (qu’il soit de dimension finie ou non).
Équations autonomes
On revient désormais à des équations non-linéaires autonomes, c’est-à-dire de la forme
du
dt
= f (u) .
(7.1)
où f est une fonction de classe C
1 sur un ouvert U d’un espace de Banach E dans
E. Comme on l’a observé plus haut (voir la remarque p. 143), quitte à considérer une
équation augmentée, on peut toujours se ramener du point de vue théorique à une
équation autonome. Cependant, même en dimension finie, il n’y a aucune méthode
générale pour calculer les solutions de (7.1) lorsque f est arbitraire. C’est pourquoi ce
chapitre aborde l’analyse qualitative de (7.1), essentielle dans les applications. Citons
pour s’en convaincre l’excellent article de C.K.R.T. Jones [17] en 2001 : « It will be
a significant challenge to us, as mathematicians, in the immediate future to convince
applied scientists and engineers to shed their perceived psychological security found
in generating explicit solutions. The replacement by the companion approaches of
computational solutions, and a (global) qualitative analysis of the behavior of the
system supply the same level of information and this latter approach is much more
widely applicable. » L’approche qualitative n’est pourtant pas récente puisqu’elle
trouve ses origines dans les travaux de Poincaré à la fin du XIXème siècle (et a conduit
au développement de la théorie des systèmes dynamiques en géométrie). Elle consiste,
au lieu de s’intéresser à la solution de (7.1) pour une donnée initiale fixée, à considérer
les courbes décrites par les solutions de (7.1) dans leur ensemble. L’objet central
d’étude devient géométrique : c’est la fonction f vue comme un champ de vecteurs
dans E (qu’il soit de dimension finie ou non).