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6 • Équations linéaires
d’où
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a L = −
1
2sh2L
e
L
L
0
sh(L − t) f (t)dt + e
−L
0
−L
sh(−L − t) f (t)dt
= −
1
2sh2L
L
0
sh(L − t)(e
L f (t) − e
−L f (−t))dt ,
b L =
1
2sh2L
e
−L
L
0
sh(L − t) f (t)dt + e
L
0
−L
sh(−L − t) f (t)dt
=
1
2sh2L
L
0
sh(L − t)(e
−L f (t) − e
L f (−t))dt .
On observe que
e
L sh(L − t)
sh2L
=
e
−t
− e
t−2L
1 − e −4L → e
−t
lorsque L → +∞, avec la majoration uniforme pour t ∈ [0, L] et L ≥ 1.
e
L sh(L − t)
sh2L
≤
e
−t
1 − e −4
Par le théorème de convergence dominée de Lebesgue (la fonction f étant bornée
par hypothèse) on en déduit
lim L→+∞ a L = −
1
2
+∞
0
e
−t f (t)dt ,
lim L→+∞ b L = −
1
2
+∞
0
e
−t f (−t)dt = −
1
2
0
−∞
e
t f (t)dt
Par suite, la solution x L s’annulant en ±L, définie par
x L (t) = a L e
t + b L e
−t +
1
2
t
0
(e
t−t
− e
t−t ) f (t)dt ,
a pour limite lorsque L → +∞ :
x(t) = −
1
2
t
−∞
e
s−t f (s)ds +
∞
t
e
t−s f (s)ds
.
On vérifie aisément que c’est une solution de x
− x = f (t), et que pour tout
t ∈ R, |x(t)| ≤ sup t∈R | f (t)|.