Solution des exercices
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Q(t) est orthogonale), l’application u + : t → Q(t)v + (t) est une solution non bornée
de u
= A(t)u. De la même façon, t → v − (t) := e
−t
√
3/2 (1, −
√
3 − 2) t fournit une
solution non bornée sur R
− .
Exercice 6.7
i). Si on avait deux solutions bornées, leur différence serait une solution bornée de
l’équation homogène x
− x = 0. Or les solutions de cette équation sont de la
forme x(t) = ae
t + be
−t : aucune solution non identiquement nulle n’est bornée
sur R.
ii). Une application x est solution de l’équation x
− x = f (t) si et seulement si
t → (x, x
) t est solution de u
= A u + F(t) avec
A =
0 1
1 0
,
F(t) =
0
f (t)
.
On calcule e
t A simplement en remarquant que A
2 = Id 2 , d’où (en revenant à la
définition de e
A =
A
n /n!) :
e
t A =
cht sht
sht cht
.
Par suite, la formule de Duhamel
u(t) = e
t A u(0) +
t
0
e
(t−s)A F(s) ds
se traduit par (sur la première composante de u) : et en déduire que toute solution
de l’équation de départ s’écrit sous la forme
x(t) = x(0)cht + x
(0)sht +
t
0
sh(t − t) f (t)dt .
Et bien sûr on peut aussi écrire x(0)cht + x
(0)sht = ae
t + be
−t , avec a =
(x(0) + x
(0))/2 et a = (x(0) − x
(0))/2.
iii). Pour que
t → x(t) = a L e
t + b L e
−t +
t
0
sh(t − t) f (t)dt .
vérifie x(L) = x(−L) = 0 il faut et il suffit que
a L e
L + b L e
−L = −
L
0
sh(L − t) f (t)dt ,
a L e
−L + b L e
L =
0
−L
sh(−L − t) f (t)dt ,
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