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6 • Équations linéaires
Exercice 6.6 Si
x
= x cos t
+ y sin t ,
y
= −x sin t + y cos t ,
alors x x
+ yy
= (x
2 + y
2 ) cos t, c’est-à-dire que r (t) :=
x(t) 2 + y(t) 2 vérifie
l’équation scalaire r
= r cos t, qui s’intègre à vue en r (t) = r (0) e
sin t . Les solutions du système ci-dessus sont donc bornées sur R. (On peut même terminer de
les calculer en coordonnées polaires : en posant x = r cos u et y = r sin u on
trouve que u
= (x y
− yx
)/r
2 = − sin t, d’où u = cos t à une constante près
et x = x(0) e
sin t cos cos t, y(t) = y 1 e
sin t sin cos t avec y 1 = y(0)/ sin(1).)
Si maintenant
x
= x cos t + y sin t ,
y
= x sin t − y cos t ,
on va trouver explicitement une matrice B ∈ M 2 (R) et Q : R → GL 2 (R) une
application 4p-périodique telles que (comme dans le théorème 6.31) u = (x, y) t est
solution de u
= A(t)u si et seulement si t → v(t) := Q(t) u(t) est solution de
v
= Bv. Pour cela on remarque que la matrice
A(t) =
cos t
sin t
sin t − cos t
est diagonalisable dans la base orthonormée constituée des vecteurs propres
e 1 (t) :=
cos t/2
sin t/2
, e 2 (t) :=
− sin t/2
cos t/2
,
associés aux valeurs propres constantes respectivement égales à 1 et à −1. (Pour
obtenir ces vecteurs propres sans calcul, il suffit d’observer que A(t) est la matrice de
la rotation d’angle t composée avec la symétrie par rapport à l’axe des x.) On constate
de plus que 2e
1 = e 2 et 2e
2 = −e 1 . Par suite, si l’on décompose une solution du
système u
= A(t)u en u(t) = x 1 (t) e 1 (t) + x 2 (t) e 2 (t), on voit que (x 1 , x 2 ) doit être
solution du système à coefficients constants :
x
1 = x 1 +
1
2 x 2 ,
x
2 = −
1
2 x 1 − x 2 .
Autrement dit on a la réduction de Floquet annoncée avec
B :=
1
1/2
−1/2 −1
et Q(t) =
e 1 (t) t
e 2 (t) t
=
cos t/2 sint/2
− sin t/2 cost/2
.
La matrice B a pour valeurs propres ±
√
3/2 . En particulier t → v + (t) :=
e
t
√
3/2 (1,
√
3 − 2)
t est une solution non bornée sur R
+ de v
= Bv, et donc (comme
6 • Équations linéaires
Exercice 6.6 Si
x
= x cos t
+ y sin t ,
y
= −x sin t + y cos t ,
alors x x
+ yy
= (x
2 + y
2 ) cos t, c’est-à-dire que r (t) :=
x(t) 2 + y(t) 2 vérifie
l’équation scalaire r
= r cos t, qui s’intègre à vue en r (t) = r (0) e
sin t . Les solutions du système ci-dessus sont donc bornées sur R. (On peut même terminer de
les calculer en coordonnées polaires : en posant x = r cos u et y = r sin u on
trouve que u
= (x y
− yx
)/r
2 = − sin t, d’où u = cos t à une constante près
et x = x(0) e
sin t cos cos t, y(t) = y 1 e
sin t sin cos t avec y 1 = y(0)/ sin(1).)
Si maintenant
x
= x cos t + y sin t ,
y
= x sin t − y cos t ,
on va trouver explicitement une matrice B ∈ M 2 (R) et Q : R → GL 2 (R) une
application 4p-périodique telles que (comme dans le théorème 6.31) u = (x, y) t est
solution de u
= A(t)u si et seulement si t → v(t) := Q(t) u(t) est solution de
v
= Bv. Pour cela on remarque que la matrice
A(t) =
cos t
sin t
sin t − cos t
est diagonalisable dans la base orthonormée constituée des vecteurs propres
e 1 (t) :=
cos t/2
sin t/2
, e 2 (t) :=
− sin t/2
cos t/2
,
associés aux valeurs propres constantes respectivement égales à 1 et à −1. (Pour
obtenir ces vecteurs propres sans calcul, il suffit d’observer que A(t) est la matrice de
la rotation d’angle t composée avec la symétrie par rapport à l’axe des x.) On constate
de plus que 2e
1 = e 2 et 2e
2 = −e 1 . Par suite, si l’on décompose une solution du
système u
= A(t)u en u(t) = x 1 (t) e 1 (t) + x 2 (t) e 2 (t), on voit que (x 1 , x 2 ) doit être
solution du système à coefficients constants :
x
1 = x 1 +
1
2 x 2 ,
x
2 = −
1
2 x 1 − x 2 .
Autrement dit on a la réduction de Floquet annoncée avec
B :=
1
1/2
−1/2 −1
et Q(t) =
e 1 (t) t
e 2 (t) t
=
cos t/2 sint/2
− sin t/2 cost/2
.
La matrice B a pour valeurs propres ±
√
3/2 . En particulier t → v + (t) :=
e
t
√
3/2 (1,
√
3 − 2)
t est une solution non bornée sur R
+ de v
= Bv, et donc (comme