Solution des exercices
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iv). La question peut se traiter pour une équation non nécessairement hamiltonienne.
Supposons que v soit le générateur infinitésimal d’un groupe à un paramètre de
transformations w l laissant invariant les solutions de u
= g(u), avec g de classe
C
3 sur U ⊂ R
d . Par souci de cohérence des notations, renommons w le champ
g, c’est-à-dire que
w :=
d
j=1
g j
∂
∂u j
.
Toute solution de u
= g(u) est de classe C
2 et par l’hypothèse d’invariance on
a (w l (u))
= g(w l (u)). En dérivant par rapport à l et en permutant les dérivées
en t et l (ce qui est possible car (l, t) → w l (u(t)) est deux fois différentiable),
on obtient (en l = 0), (v(u))
= dg(u) · v(u). Avec les notations précédentes,
si v =
d
j=1 f j
∂
∂u j
, cette égalité s’écrit encore, composante par composante,
(f j (u))
= v(g j )(u), soit par dérivation de fonctions composées,
d
k=1
∂f j
∂u k
(u) u
k = v(g j )(u) , j ∈ {1, . . . , d} .
Ceci doit être vrai quel que soit (u, u
) ∈ U × R
d tel que u
= g(u) (car pour
tout u 0 ∈ R
d il existe une solution (unique) de u
= g(u) valant u 0 à t = 0 par
exemple). Or en substituant g k à u
k , l’égalité ci-dessus s’écrit :
d
k=1
g k
∂f j
∂u k
−
d
k=1
f k
∂g j
∂u k
≡ 0 , j ∈ {1, . . . , d} ,
ce qui signifie précisément [v, w] = 0. Inversement, si [v, w] = 0, en utilisant
que
∂w l
∂l
= v(w l )
et en « remontant les calculs », on obtient que pour toute solution de l’équation
différentielle u
= g(u),
d
dl
((w l (u))
− g(w l (u))) = 0 ,
et donc (w l (u))
− g(w l (u)) = (w 0 (u))
− g(w 0 (u)) = u
− g(u) = 0. Au des
deux questions précédentes, on a ainsi montré que K est une intégrale première
de (H) si et seulement si
v K est le générateur infinitésimal d’un groupe de
transformations à un paramètre.
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