Solution des exercices
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SOLUTION DES EXERCICES
Exercice 6.1 Deux approches sont possibles. La plus algébrique consiste à réduire
les matrices impliquées. Par exemple,
A =
5 −6
3 −4
est diagonalisable sur R :
A = P D P
−1 , P =
1 2
1 1
, P
−1 =
−1 2
1 −1
, D =
−1 0
0 2
,
d’où
e
t A = P
e
−t
0
0 e
2t
P
−1 ,
et en particulier
e
t A
1
0
= P
e
−t
0
0 e
2t
−1
1
=
−e
−t + 2e
2t
−e
−t + e
2t
.
Une approche plus analytique utilise la transformation de Laplace (définie dans l’appendice, p. 302), qui vérifie la propriété L[ f
](s) = s L[ f ](s) − f (0). Sur le même
problème de Cauchy que précédemment, on obtient par transformation de Laplace le
système algébrique pour (X , Y ) := (L[x], L[y]) :
(s − 5) X (s) + 6Y (s) = 1 ,
−3X (s) + (s + 4) Y (s) = 0 ,
qui se résout en
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
X (s) =
s + 4
s 2 − s − 2
= −
1
s + 1
+
2
s − 2
,
Y (s) =
3
s 2 − s − 2
= −
1
s + 1
+
1
s − 2
.
On en déduit alors par transformation de Laplace inverse, sachant que pour tout réel a,
la fonction s → 1/(s − a) est la transformée de Laplace de la fonction t → e
at ,
x(t) = −e
−t + 2e
2t ,
y(t) = −e
−t + e
2t .
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