214
6 • Équations linéaires
Voyons maintenant le deuxième problème de Cauchy. La matrice
A =
2 −1
1 2
ayant pour valeurs propres 2 ± i, elle est diagonalisable sur C mais pas sur R. Cependant elle est déjà sous une forme permettant de calculer facilement son exponentielle
(voir §6.3.1). On a
e
t A = e
2t
cos t − sin t
sin t cos t
et la solution cherchée est
e
t A
1
1
= e
2t
cos t − sin t
sin t + cos t
.
La résolution de ce problème par transformation de Laplace se déroule comme suit.
Le système algébrique est
(s − 2) X (s) + Y (s) = 1 ,
−X (s) + (s − 2) Y (s) = 1 ,
qui se résout en
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
X (s) =
(s − 2) − 1
(s − 2) 2 + 1
,
Y (s) =
(s − 2) + 1
(s − 2) 2 + 1
.
On retrouve la solution obtenue ci-dessus par transformation de Laplace inverse,
sachant que pour toute fonction f , L[ f e
a· ](s) = L[ f ](s − a), et que les fonctions
s → s/(s
2 + a
2 ) et s → a/(s
2 + a
2 ) sont respectivement les transformées de Laplace
de t → cos(at) et de t → sin(at).
Le troisième problème de Cauchy se résout « à vue », les équations sur x et y étant
découplées de celle sur z. On obtient x(t) = e
2t , y(t) = e
3t , z(t) = (e
t + e
3t )/2. Il est
normal d’obtenir des combinaisons linéaires des fonctions exponentielles t → e
t , e
2t
et e
3t car la matrice triangulaire inférieure
⎛
⎝
2 0 0
0 3 0
0 1 1
⎞
⎠
a comme valeurs propres 1, 2 et 3, et elle est par conséquent diagonalisable. En
revanche
⎛
⎝
1 0 0
1 1 0
0 1 1
⎞
⎠