Exercices
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iii). On suppose maintenant que e
t A est bornée pour t ∈ R. Montrer que pour toute
solution maximale de x
= (A + B(t)) x, l’application y : t → e
−t A x(t) a une
limite en +∞.
iv). Application : Soit q : R
+
→ R continue telle que
+∞
0
|q(t)|dt < ∞ et x une
solution de
x
+ (1 + q(t)) x = 0 .
Montrer qu’il existe a, b ∈ R tels que lim
t→+∞
x(t) − a cos t − b sin t = 0.
Exercice 6.4 Soit B ∈ C(R; M n (R)) tel que
+∞
−∞
B(s) ds < +∞. On pose
D(t, s) := dét(R(t, s)), où R est la résolvante du système u
= B(t)u. Montrer qu’il
existe d > 0 tel que D(t, s) ≥ d quels que soient t et s ∈ R.
Exercice 6.5 Soit f ∈ C(R; R) une application T -périodique (avec T > 0).
Trouver b ∈ R et q ∈ C(R; R
+∗ ) une application T -périodique telle que u est solution
de u
= f (t)u si seulement si v : t → q(t)u(t) est solution de v
= bv.
Exercice 6.6 On considère le système u
= A(t)u avec
A(t) :=
cos t sin t
− sin t cos t
.
Les solutions sont-elles bornées sur R
+ ? sur R
− ? sur R ? Même question avec
A(t) :=
cos t
sin t
sin t − cos t
.
Exercice 6.7 Soit f : R → R une fonction continue bornée. On considère
l’équation différentielle scalaire du second ordre
d
2 x
dt 2 − x = f (t) .
i). Montrer que cette équation admet au plus une solution bornée sur R. On se
propose de calculer cette solution.
ii). Écrire l’équation sous forme d’un système u
= A u + F(t) avec A ∈ M 2 (R) et
F : R → R
2 continue, calculer e
t A et en déduire que toute solution de l’équation
de départ s’écrit sous la forme
x(t) = ae
t + be
−t +
t
0
sh(t − t) f (t)dt, ∀t ∈ R .
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