210
6 • Équations linéaires
EXERCICES
Exercice 6.1 Résoudre les problèmes de Cauchy suivants
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
dx
dt
= 5x − 6y , x(0) = 1 ,
dy
dt
= 3x − 4y , y(0) = 0 ,
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
dx
dt
= 2x − y , x(0) = 1 ,
dy
dt
= x + 2y , y(0) = 1 ,
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dx
dt
= 2 x ,
x(0) = 1 ,
dy
dt
= 3y ,
y(0) = 1 ,
dz
dt
= y + z , z(0) = 1 ,
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dx
dt
= x ,
x(0) = 1 ,
dy
dt
= x + y , y(0) = 1 ,
dz
dt
= y + z , z(0) = 1 .
Exercice 6.2 Soient A ∈ M n (R) et B ∈ C(R
+ ; M n (R)). On suppose que
A a toutes ses valeurs propres de partie réelle strictement négative, et que
lim t→+∞ B(t) = 0. Démontrer que toutes les solutions maximales du système
linéaire x
= (A + B(t))x tendent vers 0 lorsque t tend vers +∞.
Application : trouver des conditions sur le paramètre a ∈ R assurant que les solutions
du système
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x
= e
−t x +
t
2
t 2 +1
y + e
−t z ,
y
=
sin t
t x + (1 + e
−t ) z ,
z
= (2 − a) (e
−t
− 1) x − y − a
t
3
1+t 3 z ,
tendent vers 0 en +∞.
Exercice 6.3 Soient A ∈ M n (R), B ∈ C(R
+ ; M n (R)), f ∈ C(R
+ ; R
n ). On
suppose que l’application t → e
t A est bornée sur R
+ , et que
+∞
0
B(s) ds < +∞ ,
+∞
0
f (s) ds < +∞ .
i). Démontrer que toutes les solutions (maximale) du système x
= (A + B(t)) x +
f (t) sont bornées.
ii). Démontrer que toutes les solutions maximales de x
= B(t) x ont une limite
finie en +∞.