6.5 Coefficients périodiques et théorie de Floquet
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Démonstration. Soit P l’application affine définie par
P(v) = R(T , 0)
v +
T
0
R(0, s) b(s) ds
,
où R est la résolvante de l’équation homogène (6.3). Toute solution u de
l’équation avec terme source vérifie d’après la formule de Duhamel (itérée),
pour tout n ∈ N, u(nT ) = P
n (u 0 ) où u 0 = u(0). Donc s’il existe une
solution bornée, c’est qu’il existe u 0 ∈ X tel que la suite P
n (u 0 ) soit bornée.
On va raisonner par l’absurde et montrer que la non-existence de solutions périodiques empêche P
n (u 0 ) d’être bornée. S’il n’y a pas de solution périodique c’est que l’opérateur P n’a pas de point fixe. Autrement
dit, le vecteur y := R(T , 0)
T
0
R(0, s) b(s) ds n’appartient pas à E :=
Im (Id X − R(T , 0)), qui est fermé puisqu’on a supposé l’espace de dimension finie. Donc il existe w ∈ E
⊥ tel que w(y) = 0 (sinon on aurait
y ∈ (E
⊥ )
⊥ = E = E). Par construction, cela implique
w(v − R(T , 0)v) = 0 pour tout v ∈ X ,
c’est-à-dire w(v) = w(R(T , 0)v) et donc w(v) = w(R(T , 0)
n
v) pour tout
entier n. Une récurrence immédiate montre alors que
P
n (v) = R(T , 0)
n
v +
n−1
k=0
R(T , 0)
k y .
On en déduit w(P
n (v)) = w(v) + n w(y) , ce qui n’est pas borné puisque
w(y) = 0.
En dimension infinie, la même démonstration fonctionne, à condition de supposer
Im (Id X − R(T , 0)) fermé.