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6 • Équations linéaires
Théorème 6.33 « spectral mapping theorem » Soit K = R ou C. Si C ∈ GL n (K)
s’écrit C = e
B , alors les valeurs propres de C coïncident avec les exponentielles des
valeurs propres de B, avec les mêmes multiplicités.
Ce résultat se démontre par récurrence sur n, en réduisant B à une forme tridiagonale par blocs où le premier bloc est simplement l, une valeur propre de B, de
sorte que e
B a la même forme avec e
l comme premier bloc.
Définition 6.34 Les valeurs propres des opérateurs de monodromie sont appelée multiplicateurs caractéristiques. Un nombre m tel que e
mT soit un multiplicateur caractéristique est appelé exposant de Floquet.
Grâce aux théorèmes 6.30 et 6.33, la proposition 6.12 implique le
Théorème 6.35 Si A ∈ C(R; R
n ) est périodique, une condition nécessaire et suffisante
pour que toutes les solutions de u
= A(t)u soient bornées sur R
+ est que les multiplicateurs caractéristiques soient tous de module inférieur ou égal à 1 et ceux de module
1 soient semi-simples. Toutes les solutions tendent vers 0 en +∞ si et seulement si les
multiplicateurs caractéristiques sont tous de module strictement inférieur à 1.
Proposition 6.36 Si A ∈ C(R; X ) et b ∈ C(R; X ) sont périodiques de même période T ,
si 1 n’est pas dans le spectre des opérateurs de monodromie de l’équation homogène
(6.3), l’équation avec terme source (6.1) admet au moins une solution T -périodique.
Démonstration. Soit R la résolvante de l’équation homogène. D’après la
formule de Duhamel, toute solution de l’équation avec terme source vérifie
u(T ) = R(T , 0) u(0) +
T
0
R(T , s) b(s) ds .
Si l’opérateur Id X − R(T , 0) est inversible, il existe un unique u 0 ∈ X tel
que
(Id X − R(T , 0))u 0 =
T
0
R(T , s) b(s) ds .
La solution du problème de Cauchy de donnée initiale u 0 en t = 0 vérifie
donc u(T ) = u(0). Ceci suffit à prouver qu’elle est T -périodique, car
sa translatée t → u(t + T ) est solution du même problème de Cauchy.
Notons que lorsque b ≡ 0, la solution « périodique » ainsi trouvée est en fait
identiquement nulle.
Théorème 6.37 Soient A ∈ C(R; X ) et b ∈ C(R; X ) des applications T -périodiques,
avec X de dimension finie. Pour que l’équation (6.1) admette une solution
T -périodique, il suffit qu’elle admette une solution bornée sur R
+ .
6 • Équations linéaires
Théorème 6.33 « spectral mapping theorem » Soit K = R ou C. Si C ∈ GL n (K)
s’écrit C = e
B , alors les valeurs propres de C coïncident avec les exponentielles des
valeurs propres de B, avec les mêmes multiplicités.
Ce résultat se démontre par récurrence sur n, en réduisant B à une forme tridiagonale par blocs où le premier bloc est simplement l, une valeur propre de B, de
sorte que e
B a la même forme avec e
l comme premier bloc.
Définition 6.34 Les valeurs propres des opérateurs de monodromie sont appelée multiplicateurs caractéristiques. Un nombre m tel que e
mT soit un multiplicateur caractéristique est appelé exposant de Floquet.
Grâce aux théorèmes 6.30 et 6.33, la proposition 6.12 implique le
Théorème 6.35 Si A ∈ C(R; R
n ) est périodique, une condition nécessaire et suffisante
pour que toutes les solutions de u
= A(t)u soient bornées sur R
+ est que les multiplicateurs caractéristiques soient tous de module inférieur ou égal à 1 et ceux de module
1 soient semi-simples. Toutes les solutions tendent vers 0 en +∞ si et seulement si les
multiplicateurs caractéristiques sont tous de module strictement inférieur à 1.
Proposition 6.36 Si A ∈ C(R; X ) et b ∈ C(R; X ) sont périodiques de même période T ,
si 1 n’est pas dans le spectre des opérateurs de monodromie de l’équation homogène
(6.3), l’équation avec terme source (6.1) admet au moins une solution T -périodique.
Démonstration. Soit R la résolvante de l’équation homogène. D’après la
formule de Duhamel, toute solution de l’équation avec terme source vérifie
u(T ) = R(T , 0) u(0) +
T
0
R(T , s) b(s) ds .
Si l’opérateur Id X − R(T , 0) est inversible, il existe un unique u 0 ∈ X tel
que
(Id X − R(T , 0))u 0 =
T
0
R(T , s) b(s) ds .
La solution du problème de Cauchy de donnée initiale u 0 en t = 0 vérifie
donc u(T ) = u(0). Ceci suffit à prouver qu’elle est T -périodique, car
sa translatée t → u(t + T ) est solution du même problème de Cauchy.
Notons que lorsque b ≡ 0, la solution « périodique » ainsi trouvée est en fait
identiquement nulle.
Théorème 6.37 Soient A ∈ C(R; X ) et b ∈ C(R; X ) des applications T -périodiques,
avec X de dimension finie. Pour que l’équation (6.1) admette une solution
T -périodique, il suffit qu’elle admette une solution bornée sur R
+ .