6.5 Coefficients périodiques et théorie de Floquet
207
La vérification de l’égalité e
B = I n + N n’est toutefois pas immédiate. Pour
cela on va utiliser quelques propriétés de l’exponentielle et notamment le fait
que l’exponentielle est un difféomorphisme local en 0 n (car d(exp)(0 n ) = I n ,
voir la remarque p. 137) : il existe une boule V 0 centrée en 0 n et une boule V 1
centrée en I n telles que pour tout C 1 ∈ V 1 il existe un unique M ∈ V 0 tel que
C 1 = e
M . (Ceci résout notre problème lorsque la matrice N est « petite ».)
On va de plus montrer que l’exponentielle réalise un homéomorphisme
de l’ensemble des matrices nilpotentes d’ordre k, que l’on note N k , sur
l’ensemble I n + N k . La bijection réciproque sera bien sûr celle qu’on attend,
à savoir :
Log k : C →
k
m=1
(−1)
m−1
m
(C − I n )
m .
Montrons tout d’abord que le difféomorphisme local réciproque de l’exponentielle est
Log : C →
+∞
m=1
(−1)
m+1
m
(C − I n )
m .
On a Log(e
0 n ) = Log(I n ) = 0 n . De plus, pour tout B ∈ V 0 et pour tout
t ∈ [0, 1] :
d
dt
Log(e
t B ) =
k
m=1
(−1)
m−1 (e
t B
− I n )
m−1 e
t B B =
+∞
m=0
(I n − e
t B )
m e
t B B = B .
Donc Log(e
B ) = B. On en déduit que pour tout M ∈ V 1 , e
Log(M) = M.
Cette formule se traduit en particulier, pour M ∈ V 1 ∩ (I n + N k ), par
e
Log k (M) = M .
Soit N ∈ N k . L’application t → e
Log k (I n + t N)
− I n − t N est polynômiale
(car l’application t → Log k (I n + t N) est polynômiale et à valeurs dans
N k , donc il ne reste qu’un nombre fini de termes lorsqu’on compose par
l’exponentielle), et nulle au voisinage de 0. Elle est donc identiquement
nulle. En particulier,
e
Log k (I n + N ) = I n + N .
ii) Ce cas se traite par réduction sous forme de Jordan de C
2 , dont toutes les
valeurs propres réelles sont positives, voir par exemple [4, p. 163] pour les
détails.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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La vérification de l’égalité e
B = I n + N n’est toutefois pas immédiate. Pour
cela on va utiliser quelques propriétés de l’exponentielle et notamment le fait
que l’exponentielle est un difféomorphisme local en 0 n (car d(exp)(0 n ) = I n ,
voir la remarque p. 137) : il existe une boule V 0 centrée en 0 n et une boule V 1
centrée en I n telles que pour tout C 1 ∈ V 1 il existe un unique M ∈ V 0 tel que
C 1 = e
M . (Ceci résout notre problème lorsque la matrice N est « petite ».)
On va de plus montrer que l’exponentielle réalise un homéomorphisme
de l’ensemble des matrices nilpotentes d’ordre k, que l’on note N k , sur
l’ensemble I n + N k . La bijection réciproque sera bien sûr celle qu’on attend,
à savoir :
Log k : C →
k
m=1
(−1)
m−1
m
(C − I n )
m .
Montrons tout d’abord que le difféomorphisme local réciproque de l’exponentielle est
Log : C →
+∞
m=1
(−1)
m+1
m
(C − I n )
m .
On a Log(e
0 n ) = Log(I n ) = 0 n . De plus, pour tout B ∈ V 0 et pour tout
t ∈ [0, 1] :
d
dt
Log(e
t B ) =
k
m=1
(−1)
m−1 (e
t B
− I n )
m−1 e
t B B =
+∞
m=0
(I n − e
t B )
m e
t B B = B .
Donc Log(e
B ) = B. On en déduit que pour tout M ∈ V 1 , e
Log(M) = M.
Cette formule se traduit en particulier, pour M ∈ V 1 ∩ (I n + N k ), par
e
Log k (M) = M .
Soit N ∈ N k . L’application t → e
Log k (I n + t N)
− I n − t N est polynômiale
(car l’application t → Log k (I n + t N) est polynômiale et à valeurs dans
N k , donc il ne reste qu’un nombre fini de termes lorsqu’on compose par
l’exponentielle), et nulle au voisinage de 0. Elle est donc identiquement
nulle. En particulier,
e
Log k (I n + N ) = I n + N .
ii) Ce cas se traite par réduction sous forme de Jordan de C
2 , dont toutes les
valeurs propres réelles sont positives, voir par exemple [4, p. 163] pour les
détails.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit