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6 • Équations linéaires
Remarque : Dans le cadre de ce théorème, on a inversement u(t) = P(t) v(t),
avec
P(t) = Q(t)
−1 = R(t, 0) e
−t B .
La version réelle du théorème est le
Théorème 6.31 (Floquet-Lyapunov) Si X est un R-espace vectoriel de dimension
finie et A ∈ C(R; L(X )) est T -périodique, il existe une application 2T -périodique
Q : R → Isom(X ) et B ∈ L(X ) telle que u est solution de u
= A(t)u si et
seulement si t → v(t) := Q(t) u(t) est solution de v
= Bv.
Démonstration. D’après le lemme 6.32 ii), il existe B ∈ L(X ) tel que
e
2T B = C(0)
2 = R(T , 0)
2 .
On définit à nouveau Q par Q(t) = e
t B R(0, t), qui est cette fois 2T -
périodique car
Q(t + 2T ) = e
t B R(T , 0)
2 R(0, t + 2T ) = e
t B R(T , 0) R(T , t + 2T )
= e
t B R(T , t + T ) = e
t B R(0, t) = Q(t) .
Lemme 6.32 (Inversion de l’exponentielle)
i). Pour tout C ∈ GL n (C), il existe B ∈ M n (C) tel que e
B = C.
ii). Pour tout C ∈ GL n (R), il existe B ∈ M n (R) tel que e
B = C
2 .
Démonstration. i) Par réduction aux sous-espaces caractéristiques, on peut
supposer que C = l I n + N , où N est nilpotent d’ordre k ≤ n − 1, c’est-àdire que N
k = 0 n et N
k−1
= 0 n . Comme C est inversible, l est non nul : il
existe donc b ∈ C tel que l = e
b , et l’on peut écrire
C = e
b ( I n + l
−1 N ) .
Tout revient donc à trouver
B tel que e
B = I n +
N avec
N := l
−1 N
(nilpotent comme N ), car alors il suffira de poser B = b I n +
B. Désormais
on omet les tildes (ce qui revient à supposer l = 1). Par analogie avec le
développement en série entière de ln(1 + t) au point t = 0, un candidat est
B =
+∞
m=1
(−1)
m+1
m
N
m =
k
m=1
(−1)
m+1
m
N
m .