6.5 Coefficients périodiques et théorie de Floquet
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Proposition 6.29 Les opérateurs de monodromie sont tous conjugués. Pour qu’il existe
une solution T -périodique non-triviale de l’équation différentielle, il faut et il suffit
que 1 soit valeur propre de ces opérateurs.
Démonstration. On commence par observer que
R(t + T , s + T ) = R(t, s)
pour tout (t, s) ∈ R × R. (Les deux membres, vus comme fonctions de
t, sont solutions du même problème de Cauchy.) Grâce à la formule de la
proposition 6.4, on a donc, quels que soient t et s :
C(t) R(t, s) = R(t + T , s) = R(t + T , s + T ) C(s) = R(t, s) C(s) .
Par ailleurs, l’existence d’une solution périodique u ≡ 0 équivaut à l’existence de u 0 = 0 tel que R(T , 0) u 0 = u 0 .
Le résultat suivant montre que, en dimension finie, les équations différentielles
linéaires à coefficients périodiques sont en quelque sorte conjuguées à des équations
différentielles autonomes.
Théorème 6.30 (Floquet–Lyapunov) Si X est un C-espace vectoriel de dimension
finie et A ∈ C(R; L(X )) est T -périodique, il existe une application T -périodique
Q : R → Isom(X ) et B ∈ L(X ) telle que u est solution de u
= A(t)u si et
seulement si t → v(t) := Q(t) u(t) est solution de v
= Bv.
Démonstration. La dimension finie permet d’appliquer le lemme 6.32 i)
ci-après : il existe donc B ∈ L(X ) tel que e
T B = C(0) = R(T , 0) . Soit
alors Q définie par Q(t) = e
t B R(0, t) . C’est un isomorphisme car e
t B et
R(0, t) en sont, et
Q(t+T ) = e
t B R(T , 0) R(0, t+T ) = e
t B R(T , t+T ) = e
t B R(0, t) = Q(t) .
Par ailleurs, si u est solution de u
= A(t)u alors u(t) = R(t, 0) u(0), et
donc
v : t → v(t) := Q(t) R(t, 0) u(0) = e
t B u(0)
est solution de v
= Bv. Inversement, quel que soit v 0 ∈ X ,
u : t → Q(t)
−1 e
t B
v 0 = R(t, 0) v 0
est solution de u
= A(t)u.
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