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6 • Équations linéaires
z
(t) = (a
2
− 2 a K d) z(t) .
C’est ici qu’apparaît la restriction supplémentaire 2 K d < a, que l’on
suppose satisfaite désormais. Si l’on note pour simplifier g := a
√
1 − 2 u,
u := K d/a, comme z est bornée (par construction) et solution de z
=
g
2 z, elle est nécessairement de la forme z(t) = c e
−g t . En reportant cette
expression dans (6.14) à t = 0 on en déduit
c = K y(0) + K d c/(a + g) ,
d’où c = K y(0) (1 −
√
1 − 2u)/u .
Corollaire 6.27 Soient A, B : R
±
→ L(X ) des applications continues. On suppose
que la résolvante de l’équation différentielle u
= A(t) u admet une dichotomie
exponentielle sur R
± . Si lim t→±∞ B(t) = 0 , alors la résolvante de u
= A(t) u +
B(t) u admet une dichotomie exponentielle sur R
± .
Démonstration. Traitons le cas de R
+ pour fixer les idées. Si d est le nombre
positif du théorème 6.25, il existe t 0 > 0 tel que pour t ≥ t 0 , B(t) ≤ d.
Par suite, la résolvante de u
= A(t) u + B(t) u admet une dichotomie
exponentielle sur [t 0 , +∞[, et compte tenu de la proposition 6.22, on en
déduit une dichotomie exponentielle sur R
+ .
6.5 COEFFICIENTS PÉRIODIQUES ET THÉORIE DE FLOQUET
Les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques apparaissent notamment dans la linéarisation autour de solutions périodiques d’équations non-linéaires,
et jouent un rôle important dans la stabilité de ces solutions périodiques. On va voir
qu’en dimension finie elles se ramènent dans une certaine mesure aux équations à
coefficients constants, via la théorie de Floquet.
Dans ce qui suit X est un espace de Banach (sur R ou C) et A ∈ C(R; X ) est
périodique de période T . On considère l’équation différentielle linéaire (6.3) et R :
R × R → Isom(X ) sa résolvante :
∂ R
∂t
(t, s) = A(t) ◦ R(t, s) et R(s, s) = Id X .
Définition 6.28 Quel que soit s ∈ R, on appelle l’opérateur
C(s) := R(s + T , s)
opérateur de monodromie (au point s).
6 • Équations linéaires
z
(t) = (a
2
− 2 a K d) z(t) .
C’est ici qu’apparaît la restriction supplémentaire 2 K d < a, que l’on
suppose satisfaite désormais. Si l’on note pour simplifier g := a
√
1 − 2 u,
u := K d/a, comme z est bornée (par construction) et solution de z
=
g
2 z, elle est nécessairement de la forme z(t) = c e
−g t . En reportant cette
expression dans (6.14) à t = 0 on en déduit
c = K y(0) + K d c/(a + g) ,
d’où c = K y(0) (1 −
√
1 − 2u)/u .
Corollaire 6.27 Soient A, B : R
±
→ L(X ) des applications continues. On suppose
que la résolvante de l’équation différentielle u
= A(t) u admet une dichotomie
exponentielle sur R
± . Si lim t→±∞ B(t) = 0 , alors la résolvante de u
= A(t) u +
B(t) u admet une dichotomie exponentielle sur R
± .
Démonstration. Traitons le cas de R
+ pour fixer les idées. Si d est le nombre
positif du théorème 6.25, il existe t 0 > 0 tel que pour t ≥ t 0 , B(t) ≤ d.
Par suite, la résolvante de u
= A(t) u + B(t) u admet une dichotomie
exponentielle sur [t 0 , +∞[, et compte tenu de la proposition 6.22, on en
déduit une dichotomie exponentielle sur R
+ .
6.5 COEFFICIENTS PÉRIODIQUES ET THÉORIE DE FLOQUET
Les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques apparaissent notamment dans la linéarisation autour de solutions périodiques d’équations non-linéaires,
et jouent un rôle important dans la stabilité de ces solutions périodiques. On va voir
qu’en dimension finie elles se ramènent dans une certaine mesure aux équations à
coefficients constants, via la théorie de Floquet.
Dans ce qui suit X est un espace de Banach (sur R ou C) et A ∈ C(R; X ) est
périodique de période T . On considère l’équation différentielle linéaire (6.3) et R :
R × R → Isom(X ) sa résolvante :
∂ R
∂t
(t, s) = A(t) ◦ R(t, s) et R(s, s) = Id X .
Définition 6.28 Quel que soit s ∈ R, on appelle l’opérateur
C(s) := R(s + T , s)
opérateur de monodromie (au point s).