6.4 Dichotomies exponentielles et sous-espaces stables
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Démonstration. Dans la démonstration du lemme de Gronwall « standard »,
on se ramène à l’inéquation différentielle satisfaite par le second membre de
l’inégalité intégrale. Ici cela ne fonctionne pas, car la dérivée de
w : t →
+∞
0
e
−a|t−t| y(t) dt =
t
0
e
−a(t−t) y(t) dt +
+∞
t
e
−a(t−t) y(t) dt
est donnée par
w
(t) = −a
t
0
e
−a(t−t) y(t) dt + a
+∞
t
e
−a(t−t) y(t) dt ,
et l’on ne sait pas majorer le premier terme. On considère plutôt l’équation
intégrale :
z(t) = K e
−at y(0) + K d
+∞
0
e
−a|t−t| z(t) dt .
(6.14)
Si K d < a, cette équation admet une solution unique bornée, point fixe de
l’application contractante
I : C b (R
+ ; R) → C b (R
+ ; R)
z
→ Iz ;
Iz(t) = K e
−at y(0) + K d
+∞
0
e
−a|t−t| z(t) dt .
On peut notamment construire ce point fixe comme limite de la suite (z
n ) n∈N
définie par z
0 (t) = y(t) et z
n+1 = Iz
n . Or l’hypothèse sur y montre que
y(t) ≤ z
n (t) quels que soient t ∈ R
+ et n ∈ N : c’est vrai par définition pour
n = 0 ; si c’est vrai pour n, alors
y(t) ≤ K e
−at y(0) + K d
+∞
0
e
−a|t−t| y(t) dt ≤ Iz
n (t) = z
n+1 (t) .
Donc à la limite lorsque n tends vers +∞, on obtient y(t) ≤ z(t).
Il suffit par conséquent de montrer la majoration voulue pour z, dont on va
voir qu’elle est solution d’une équation différentielle : on revient en quelque
sorte à la méthode de démonstration du lemme de Gronwall, sauf que l’équation différentielle sous-jacente est d’ordre 2. En effet, par le théorème de
dérivation sous le signe
on voit que z est (au moins) de classe C
2 et
z
(t) = −aK e
−at y(0)−aK d
t
0
e
−a(t−t) z(t)dt+aK d
+∞
t
e
−a(t−t) z(t)dt ,
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