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6 • Équations linéaires
Par suite, en faisant la somme, on en déduit si h < 1/2 que
g 1 (t) + g 2 (t) ≤ 4K ,
d’où a fortiori la majoration de g 1 et g 2 par 4K . Voyons maintenant
pour achever la démonstration comment on obtient les majorations de
Q(t) Y 1 (t) x et P(t) Y 2 (t) x. D’après (6.10), puisque Q(t)P(t) = 0 et
Q(t)P(t) = Q(t),
Q(t) Y 1 (t) = −
+∞
t
R(t, t) Q(t) B(t) Y 1 (t) dt .
Or comme on l’a montré plus haut,
Y 1 (t) x ≤
K e
− a(t−t)
Y 1 (t) x
pour 0 ≤ t ≤ t, et d’autre part on rappelle que
R(t, t) Q(t) ≤ L e
−b(t−t) .
On en déduit que Q(t) Y 1 (t) x ≤
d
K L Y 1 (t) x
+∞
t
e
−( a+b)(t−t) dt = d
K L
a + b
Y 1 (t) x .
De façon analogue, d’après (6.13),
P(t) Y 2 (t) =
t
0
R(t, t) P(t) B(t) Y 2 (t) dt
implique
P(t) Y 2 (t) x ≤ d
L K Y 2 (t) x
t
0
e
−(a+
b)(t−t) dt ≤ d
L K
a +
b
Y 2 (t) x .
Cela achève la démonstration du théorème 6.25.
Lemme 6.26 Soit y ∈ C b (R
+ ; R) une fonction bornée pour laquelle il existe K > 0,
d > 0, a > 0, tels que
y(t) ≤ K e
−at y(0) + K d
+∞
0
e
−a|t−t| y(t) dt pour tout t ≥ 0 .
Si d < a/(2K ) alors
y(t) ≤ y(0)
a
d
(1 −
1 − 2K d/a) e
−at
√
1−2K d/a
pour tout t ≥ 0 .