6.4 Dichotomies exponentielles et sous-espaces stables
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quel que soit t ∈ R
+ . Notons que d’après la propriété i), le premier terme
s’écrit aussi P(t) R(t, 0). En remplaçant t par s dans (6.10), en composant
par R(t, 0) P 0 R(0, s) et en remarquant que (grâce à la propriété i) et à la
formule de la proposition 6.4) R(t, 0)P 0 R(0, s)R(s, t)P(t) =
R(t, 0)P 0 R(0, t)P(t) = R(t, 0)P 0 P 0 R(0, t) =
R(t, 0)P 0 R(0, t) = R(t, 0)R(0, t)P(t) = R(t, t)P(t) ,
et que par un calcul analogue, puisque P 0 Q(0) = 0,
R(t, 0) P 0 R(0, s) R(s, t) Q(t) = 0 ,
on obtient aussi, en réécrivant R(t, 0) P 0 R(0, s) = R(t, 0) R(0, s) P(s) =
R(t, s) P(s),
R(t, s) P(s) Y 1 (s) = R(t, 0) P 0 +
s
0
R(t, t) P(t) B(t) Y 1 (t) dt , (6.11)
d’où en soustrayant à l’égalité (6.10),
Y 1 (t) = R(t, s) P(s) Y 1 (s) +
t
s
R(t, t) P(t) B(t) Y 1 (t) dt
−
+∞
t
R(t, t) Q(t) B(t) Y 1 (t) dt .
(6.12)
En faisant t = s = 0 dans (6.11), on voit en particulier que P 0
P 0 = P 0 .
Ceci implique que Y 1
P 0 est aussi un point fixe de T, d’où Y 1 (t)
P 0 = Y 1 (t)
quel que soit t ∈ R
+ . En particulier pour t = 0, cela montre que
P 0
P 0 =
P 0 ,
c’est-à-dire que
P 0 est un projecteur.
Soient maintenant
Q 0 := Id X −
P 0 et Y 2 (t) :=
R(t, 0)
Q 0 . Ainsi Y 1 (d’après
(6.10)) et Y 2 sont deux solutions de l’équation différentielle linéaire Y
=
A(t)Y + B(t)Y dans L(X ). Par suite, puisque Y 1 (0) =
P 0 , Y 1 (t) =
R(t, 0)
P 0
(et
R(t, 0) = Y 1 (t) + Y 2 (t)) quel que soit t ∈ R
+ . D’après la proposition 6.24,
il reste à montrer des estimations sur Y 1 et Y 2 :
Y 1 (t) x ≤
K e
− a(t−s)
Y 1 (s) x , Y 2 (s) x ≤
Le
−
b(t−s)
Y 2 (t) x
pour 0 ≤ s ≤ t, x ∈ X , et une borne uniforme sur
R(t, 0)
P 0
R(0, t) =:
P(t)
pour t ≥ 0.
Commençons par l’estimation de Y 1 . D’après (6.12) et les estimations ii) et
iii) de R, Y 1 (t) x ≤ K e
−a(t−s)
Y 1 (s)x +
K d
t
s
e
−a(t−t)
Y 1 (t) x dt + L d
+∞
t
e
−b(t−t)
Y 1 (t) x dt .
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